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{{NoteTA|G1=Math}}
在[[幾何學]]中，'''施瓦茨三角形'''（{{lang-en|Schwarz triangle}}）是一個[[球面三角形]]，可用於球面鑲嵌，透過在其邊緣反射，但是可能會重疊。他們被歸類於[[施瓦茨三角形#cite_note-Schwarz1873-1|施瓦茨1873]]<ref name="Schwarz1873">{{Citation | last1=Schwarz | first1=H. A. | title=Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes  darstellt | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002155206 | year=1873 | volume=75 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | pages=292–335 | accessdate=2014-05-28 | archive-date=2020-08-09 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200809005505/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002155206 | dead-url=no }} (Note that Coxeter references this as "Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe", which is the short title used in the journal page headers)</ref>。

施瓦茨三角形除了可以定義在球面之外，也可以定義於歐幾里得平面或雙曲面，而做成便面鑲嵌或雙曲面鑲嵌。在球面上的每個施瓦茨三角形定義了一個有限群，而在歐氏或雙曲平面，則會定義出一個無限群。

施瓦茨三角形是由三個有理數(''p'' ''q'' ''r'')來代表每個頂點的角度。值''n/d''表示的頂角為半圓的''d''/''n''，“2”表是一個[[直角]]。若p、q、r皆為整數，則將其稱為'''莫比烏斯三角形'''（{{lang-en|Möbius triangle}}）並且對應於一個沒有重疊的鑲嵌，其對稱群稱為一個三角群。在球面移共有3個莫比烏斯三角形加一個單參數族；在歐氏平面上有三個莫比烏斯三角形；而在羅氏雙曲空間中有三個參數族的莫比烏斯三角形，並沒有特例。

== 空間 ==
施瓦茨三角形所屬的空間取決於其p、q、r值：

<math display=block>
\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r \quad
\begin{cases}
  > 1 &\implies \text{球 面} \\[2pt]
  = 1 &\implies \text{歐 氏 平 面} \\[2pt]
  < 1 &\implies \text{羅 氏 平 面 （雙 曲 面）}
\end{cases}
</math>

== 圖形表示 ==
施瓦茨三角形可以用[[完全圖|三角圖]]來表示。每個節點表示施瓦茨三角形的邊（鏡射）。每條邊是由相應的反射階數合理的數值標示，即[[π]]/頂點角。
{| class=wikitable
|[[File:Schwarz triangle on sphere.png|280px]]<BR>Schwarz triangle (''p'' ''q'' ''r'') on sphere
|[[File:Schwarz triangle graph.png]]<BR>Schwarz triangle graph
|}
2階邊代表垂直於鏡射，可以在該圖中被忽略。在考克斯特 - 迪肯符號表示三角形圖中會隱藏2階邊。
考克斯特組可用於更簡單的符號，如(''p'' ''q'' ''r'')的循環圖，(''p'' ''q'' 2) = [''p'',''q''](直角三角形)，和(''p'' 2 2) = [''p'']&times;[]。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
* [[Coxeter]], ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Table 3: Schwarz's Triangles)
* {{Citation
| publisher = CUP Archive
| isbn = 978-0-521-22279-2
| last = Wenninger
| first = Magnus J.
| title = Spherical models
| chapter = An introduction to the notion of polyhedral density
| pages = [http://books.google.com/books?id=Olc5AAAAIAAJ&pg=PA132 132–134]
| year = 1979
}}
{{refend}}

== 外部連結 ==
* {{mathworld | urlname = SchwarzTriangle | title = Schwarz triangle}}
* {{KlitzingPolytopes|../explain/pqr.htm |3D| The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra}}

[[Category:球面几何学]]
[[Category:多面體]]
[[Category:三角形]]