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{{Expand English|Sturm-Liouville_theory|tpercent=1}}
{{noteTA
|1=zh-tw:史特姆; zh-cn:施图姆;
|2=zh-tw:法蘭斯瓦; zh-cn:弗朗索瓦;
|3=zh-tw:萊歐維爾; zh-cn:刘维尔;
}}
在数学及其应用中，以[[雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆]]和[[约瑟夫·刘维尔]]的名字命名的'''施图姆-刘维尔方程'''（{{lang-en|Sturm–Liouville theory}}）是指二阶线性实微分方程：
{{NumBlk||<math display="block">\frac{d}{dx}\!\!\left[\,p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -\lambda\, w(x)y, </math>|{{EquationRef|1}}}}

其中给定系数函数{{math|''p''(''x'')}}, {{math|''q''(''x'')}}, 和{{math|''w''(''x'')}}均为已知函数，和{{mvar|y}}是以{{mvar|x}}为自由变量的未知的待求解函数，称为解；<math>\lambda</math>是一个未定常数。{{math|''w''(''x'')}}又记为{{math|''r''(''x'')}}，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的'''施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题'''中，在有界闭区间[''a'',''b'']上，三个系数函数<math>p(x),w(x),q(x)</math>应满足以下性质：
* <math>p(x)>0,w(x)>0</math>；
* <math>p(x),p'(x),w(x),q(x)</math> 均连续；
* <math>y(x)</math> 满足边界条件 <math>\alpha_1 y(a)+\alpha_2 y'(a)=0</math> 及 <math>\beta_1 y(b)+\beta_2 y'(b)=0</math>（<math>\alpha_1^2+\alpha_2^2>0,\beta_1^2+\beta_2^2>0</math>）。
只有一些恰当的<math>\lambda</math>能够使得方程拥有满足上述条件的[[非平凡解]]（非零解）。这些<math>\lambda</math>称为方程的[[特徵值]]，对应的非平凡解称为[[本征函数|特徵函数]]，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的[[函数空间]]中，引入[[埃尔米特算子]]，形成了'''施图姆-刘维尔理论'''。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解[[偏微分方程]]的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：
* 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：
:<math>\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\cdots<\lambda_n<\cdots ,\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_n=\infty</math>；
* 对于每一个特徵值<math>\lambda_n</math>都有唯一的（已被归一化的）特徵函数<math>y_n(x)</math>，且<math>y_n(x)</math>在开区间(''a'',''b'')上有且仅有n-1个零点。其中<math>y_n(x)</math>称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
* 已归一化的特徵函数族在[[希尔伯特空间]]<math>L^2([a,b],w(x)\mathrm{d}x)</math>上有正交性和完备性，形成一组[[正交基]]：
:<math> \int_a^b y_n(x)y_m(x)w(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{mn}</math>
:其中<math>\delta_{mn}</math>是[[克罗内克函数]]。

== 一些函数的施图姆-刘维尔形式 ==
只要乘以一个恰当的[[积分因子]]，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

=== [[贝塞尔方程]] ===

: <math>x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\,</math>

: 等价于：

: <math>(xy')'+(x-\nu^2/x)y=0.\,</math>

=== [[勒让德方程]] ===

: <math>(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\!</math>

: 注意到 ''D''(1&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sup>2</sup>) = &minus;2''x''，因此等价于：

: <math>[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!</math>

=== [[二体系统施图姆-刘维尔方程]] ===
二体问题常用的换元的技巧是通过 <math>u=1/r \!</math> 和 <math>\dot{\theta}=Lu^{2}/m\!</math> 将原方程中对时间的求导转化为对角度 <math>\theta\!</math> 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程<ref>{{cite journal |last1=Luo |first1=Siwei |title=The Sturm-Liouville problem of two-body system |journal=Journal of Physics Communications |date=22 June 2020 |volume=4 |issue=6 |page=061001 |doi=10.1088/2399-6528/ab9c30|bibcode=2020JPhCo...4f1001L |doi-access=free }}</ref> 
:<math>(Lu')'+Lu = 1/L\!</math>


=== 使用积分因子的例子 ===

: <math>x^3y''-xy'+2y=0.\,</math>

: 两边同时除以''x''<sup>3</sup>:

: <math>y''-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0</math>

: 再乘以积分因子： 

: <math>\mu(x) = e^{\int -{x / x^3}\,\mathrm{d}x}=e^{\int -{1 / x^2}\, \mathrm{d}x}=e^{1 / x},</math>

: 得到：

: <math>e^{1 / x}y''-{e^{1 / x} \over x^2} y'+ {2 e^{1 / x} \over x^3} y = 0</math>

: 又注意到：

: <math>D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2} </math>

: 因此原方程等价于：

: <math>(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.</math>

=== 一般形式二阶常微分方程的积分因子 ===

: <math>P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,</math>

: 两边同时乘以积分因子：

: <math>\mu(x) = {1 \over P(x)} e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x},</math>

: 整理后得到：

: <math>{d \over dx} (\mu(x)P(x)y')+\mu(x)R(x)y=0</math>

: 或者把积分因子写出来：

: <math>{d \over dx} (e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x}y')+{R(x) \over P(x)} e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x} y = 0</math>

== 参阅 ==
* [[简正模]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{泛函分析}}

[[Category:常微分方程]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:算子理论]]
[[Category:谱理论]]