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{{noteTA
|G1=数学
|2=zh-tw:法蘭斯瓦; zh-cn:弗朗索瓦;
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'''施图姆定理'''是一个用于决定[[多项式]]的不同实根的个数的方法。这个方法是以[[雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆]]命名的。

施图姆定理与[[代数基本定理]]的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把[[重根]]也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。

==标准施图姆序列==
我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列：

: <math>X=a_n x^n+\ldots +a_1 x+a_0.</math>

'''标准施图姆序列'''是把[[多项式长除法]]应用于<math>X</math>和它的导数<math>X_1= X'</math>时，所得到的中间结果的序列。

标准施图姆序列由以下公式计算：
: <math>\begin{matrix}
X_2&=&-{\rm rem}(X,X_1)\\
X_3&=&-{\rm rem}(X_1,X_2)\\
&\vdots&\\
0&=&-{\rm rem}(X_{r-1},X_r),
\end{matrix}
</math>

也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当<math>1 \le i < r</math>时，<math>\operatorname{deg} X_{i + 1} \le \operatorname{deg} X_i - 1</math>，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，<math>X_r</math>，就是<math>X</math>和它的导数的最大公因式。由于<math>X</math>没有重根，因此<math>X_r</math>是一个常数。于是，标准施图姆序列为：

:<math>X,X_1,X_2,\ldots,X_r . \,</math>

==表述==
设<math>V_{\xi }</math>为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：

:<math>X(\xi), X_1(\xi), X_2(\xi),\ldots, X_r(\xi), \,\! </math>

其中<math>X</math>是不含重根的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数<math>a , b</math>，开区间<math>(a , b)</math>中的不同根的个数为<math>V_a-V_b</math>。

==应用==
通过恰当选择<math>a , b</math>，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，[[柯西]]发现的一个定理说明，系数为<math>a_i</math>的多项式的所有实根都在区间<math>[-M , M]</math>内，其中：
:<math>M = 1 + \frac{\max_{i=0}^{n-1} |a_i|}{|a_n|} . \,\! </math>

除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的正数<math>x</math>，以下多项式的符号
:<math>P(x)=a_n x^n+\cdots \,\! </math> 
是<math>\sgn(a_n)</math>，而<math>\sgn(P(-x))</math>则是<math>\sgn((-1)^n a_n)</math>。 

用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如<math>\xi</math>）是几重根。确实，假设我们知道<math>\xi</math>在<math>(a , b)</math>内，且<math>V_a-V_b = 1</math>。那么，<math>\xi</math>是<math>m</math>重根正好当<math>\xi</math>是<math>X_r</math>的<math>m-1</math>重根时（这是因为它是<math>X</math>和它的导数的最大公因式）。

==一般的施图姆序列==
<math>[a , b]</math> 上的'''施图姆序列'''，是实系数多项式 <math>X</math> 的一个有限序列<math> X_0,X_1,\ldots ,X_r </math>，使得：
#<math> X_r </math>在 <math>[a , b]</math> 上没有根
#<math> X_0(a)X_0(b)\neq 0 </math>
#如果对于<math> \xi \in [a , b] , 1 \le i  \le r-1  , X_{i}( \xi ) = 0 </math>，那么<math>X_{i-1}( \xi )X_{i+1}( \xi ) < 0 </math>
#若对于<math> \xi \in [a , b] ,X( \xi ) = 0</math> ,则存在<math>\delta > 0</math>,使得 <math>c\in(\xi - \delta , \xi )</math>时，<math>X_0(c)X_1(c)<0</math> 而 <math>c\in(\xi  , \xi + \delta )</math> 时 <math>X_0(c)X_1(c)>0</math>
我们可以验证每一个标准施图姆序列确实是如上定义的施图姆序列。

==相關條目==
* [[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]
* [[笛卡儿符号法则]]

==參考資料==
* D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.
==外部链接==
* [https://web.archive.org/web/20141010201712/http://tog.acm.org/resources/GraphicsGems/gems/Sturm/ 施图姆定理的C代码]

[[Category:实分析定理]]
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:多项式定理]]
[[Category:计算机代数]]
[[Category:实代数几何]]