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{{refimprove|time=2016-04-03T02:54:42+00:00}}
數學中的'''方程求解'''是指找出哪些[[數值|值]]（可能是[[數]]、[[函數]]、[[集合 (數學)|集合]]）可以使一個[[方程]]成立，或是指出這様的解不存在。方程是兩個用[[等號]]相連的數學[[表示式]]，表示式中有一個或多個[[未知數]]，未知數為[[自由变量和约束变量|自由變數]]，解方程就是要找出未知數要在什麼情形下，才能使等式成立。更準確的說，方程求解不一定是要找出未知數的值，也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數，也就是說若用方程的解來取代未知數，會使方程變為[[恆等式]]。

例如方程<math>x+y=2x-1</math>的解為<math>x=y+1</math>，因為若將方程中<math>x</math>取代為<math>y+1</math>，方程會變成恆等式<math>\left ( y+1 \right )+y=2\left ( y+1 \right )-1</math>。也可以將<math>y</math>視為未知數，解則為<math>y=x-1</math>。也可以將''<math>x</math>''和''<math>y</math>''都視為未知數，此時會有許多組的解，像是<math>(x,y)=\left ( 1,0 \right )</math>或是<math>(x,y)=\left ( 2,1 \right )</math>等，所有滿足<math>(x,y)=(a+1,a)</math>的都是上述方程的解。

依問題的不同，方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解，也有可能是要找到所有的解（{{link-en|解集合|Solution set}}）。有時方程會存在許多解，但要找到某種[[最佳解]]，這類的問題稱為[[最佳化問題]]，找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。

有些情形下，方程求解會需要找到[[解析解]]，也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下，方程求解只需要找到[[數值解]]，也就是[[數值分析]]的方法求解[[近似值]]。許多方程不存在[[解析解]]，或是沒有簡單形式的解析解，例如[[五次方程]]以及更高次的[[代數方程]]，不存在根式解（用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解），這是由數學家[[尼爾斯·阿貝爾]]證明的<ref>{{cite book 
 |author= 阿米爾·艾克塞爾（Amir D. Aezel）
 |title= 費馬最後定理
 |year= 1998
 |publisher= 時報出版
 |location= 台北
 |isbn= 957-13-2648-8
 |pages=p.87
}}</ref>。

==簡介==
考慮一個具一般性的例子，有一個以下的方程：

:<math>f(x_1,\ldots,x_n)=c</math>,

其中<math>x_1,\ldots,x_n</math>為未知數，而<math>c</math>為常數。其解為[[像|反像]]集合的成員
:<math>f^{-1}[c]=\left \{ \left ( a_1,\ldots,a_n \right ) \in T_1\times\ldots\times T_n|f\left ( a_1,\ldots,a_n \right )=c\right \}</math>

其中<math>T_1,\ldots,T_n</math>為函數<math>f</math>的[[定義域]]。注意解集合可能為空集合（沒有解）、[[单元素集合]]（唯一解）、有限個元素的集合及無限多個元素的集合（有無限多的解）。

例如，以下的方程：

:<math>3x+2y=21z</math>

其未知數為<math>x</math>, <math>y</math>及<math>z</math>，可以在等式二側同減<math>21z</math>，得到以下的式子：

:<math>3x+2y-21z=0</math>

以此例而言，方程不會只有唯一解，方程解的個數有無限多個，可以寫為以下的集合

:<math>\left \{ \left ( x,y,z \right )|3x+2y-21z=0 \right \}</math>.

其中一個特殊解為<math>x=0,y=0,z=0</math>，而<math>x=3,y=6,z=1</math>和<math>x=8,y=9,z=2</math>也是其解。解集合描述一個三維空間中，恰好穿過上述三個點的平面。

==解集合==
若{{link-en|解集合|solution set}}為空集合，表示不存在<math>x_i</math>使得以下方程成立

:<math>f(x_1,\ldots,x_n)=c</math>,

其中<math>c</math>為一特定常數。

例如考慮一個經典的單變數例子，考慮[[定義域]]為[[整數]]的平方函數<math>f</math>：

:<math>f(x)=x^2</math>,

考慮以下方程

:<math>f(x)=2</math>.

其解集合為<math>\left \{  \right \}</math>，是[[空集]]合。因為2不是任何整數的平方，因此不可能找到整數可以使以上方程成立。但若修改函數的定義域，將其定義域改為所有[[實數]]，則上式有二個解，其解集合為
:<math>\left \{ \sqrt{2},-\sqrt{2} \right \}</math>.

有些方程的解集合可能形成一個[[平面 (数学)|平面]]或[[曲面]]。例如在學習[[基礎數學]]時，有提及形式為<math>ax+by=c</math>的方程，其中<math>a</math>, <math>b</math>,&nbsp;和<math>c</math>都是實數的常數，且''<math>a</math>''和''<math>b</math>''至少有一個不為零，其解集合形成[[向量空間]]<math>\mathbb{R}^2</math>中的一條[[直線]]。不過有些解集合不易用圖解表示，例如<math>ax+by+cz+dw=k</math>（''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'', ''<math>c</math>'', <math>d</math>, and <math>k</math>為實數的常數）的解集合會形成[[超平面]]。

==相關條目==
*[[方程组]]
*{{link-en|等化系数|Equating coefficients}}
*[[数学分析]]
*[[数值分析]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:方程]]
[[Category:反函数]]
[[Category:合一]]