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{{NoteTA|G1=Math}}
{{向量字體常規}}
在[[解析幾何]]裏，一個[[向量]]的三個'''方向餘弦'''分別是這向量與三個[[坐標軸]]之間的[[角度]]的[[餘弦]]。

假設 <math>\mathbf {v}\,</math> 是三維空間裏的向量：
:<math>\mathbf {v}= v_1 \boldsymbol{\hat{x}} + v_2 \boldsymbol{\hat{y}} + v_3 \boldsymbol{\hat{z}}\,</math> ；

其中，<math>\boldsymbol{\hat{x}}\,</math> 、<math>\boldsymbol{\hat{y}}\,</math> 、<math>\boldsymbol{\hat{z}}\,</math> 是一組[[標準正交基]]的單位[[基底向量]]，<math>v_1\,</math> 、<math>v_2\,</math> 、<math>v_3\,</math> 分別為 <math>\mathbf {v}\,</math> 對於x-軸、y-軸、z-軸的分量。

那麼，<math>\mathbf {v}\,</math> 對於x-軸、y-軸、z-軸的方向餘弦 <math>\alpha \,</math> 、<math>\beta \,</math> 、<math>\gamma \,</math> 分別為
:<math>\begin{align}
\alpha & = \cos a = \frac{{\mathbf v} \cdot \boldsymbol{\hat{x}} }{ \left \Vert {\mathbf v} \right \Vert } & = \frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}} \\
\beta  & = \cos b = \frac{{\mathbf v} \cdot \boldsymbol{\hat{y}} }{ \left \Vert {\mathbf v} \right \Vert } & = \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}} \\
\gamma  &= \cos c = \frac{{\mathbf v} \cdot \boldsymbol{\hat{z}} }{ \left \Vert {\mathbf v} \right \Vert } & = \frac{v_3}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}
\end{align}
\,</math><span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中， <math>a\,</math> 、<math>b\,</math> 、<math>c\,</math> 分別為 <math>\mathbf {v}\,</math> 對於x-軸、y-軸、z-軸的角度。

注意到以下[[恆等式]]：
:<math>\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1\,</math> 。

加以推廣，兩個向量之間的方向餘弦指的是這兩個向量之間的角度的餘弦。「方向餘弦矩陣」是由兩組不同的[[標準正交基]]的[[基底]]向量之間的方向餘弦所形成的矩陣。方向餘弦矩陣可以用來表達一組標準正交基與另一組標準正交基之間的關係，也可以用來表達一個向量對於另一組標準正交基的方向餘弦。

==剛體取向==<!--link from 剛體-->
通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以以下參數設定：
#剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的[[質心]]或[[形心]]為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。表示位置可以應用向量的概念。向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。設定剛體的位置需要三個坐標，例如，採用[[直角坐標系]]，這三個坐標為x-坐標、y-坐標、z-坐標。這用掉了三個自由度。
#剛體的[[取向]]：描述剛體取向的方法有好幾種，包括'''方向餘弦'''、[[歐拉角]]、[[四元數]]等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場[[控制塔]]的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。剛體的[[取向]]需要用到另外三個自由度。

[[File:Direction Cosine.svg|right|200px|thumb|單位向量 <math>\hat{\mathbf{e}_i}</math> 與參考系的三個單位向量 <math>\hat{\mathbf{x}}_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{x}}_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{x}}_3</math> 之間的夾角分別為 <math>\theta_{i1}</math> 、<math>\theta_{i2}</math> 、<math>\theta_{i3}</math> 。]]
'''方向餘弦'''方法可以用來設定附體參考系B的取向，即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為 <math>\hat{\mathbf{x}}_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{x}}_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{x}}_3</math> ，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為 <math>\hat{\mathbf{e}}_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math> 。定義 <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> 與<math>\hat{\mathbf{x}}_j</math> 之間的方向餘弦 <math>a_{ij}</math> 為
:<math>a_{ij}\ \stackrel{def}{=}\ \cos{(\theta_{ij})}
=\hat{\mathbf{e}}_i\cdot\hat{\mathbf{x}}_j</math> ；

其中，<math>\theta_{ij}</math> 是 <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> 與 <math>\hat{\mathbf{x}}_j</math> 之間的夾角。

<math>\hat{\mathbf{e}}_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math> 與 <math>\hat{\mathbf{x}}_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{x}}_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{x}}_3</math> 之間的關係分別為
:<math>\hat{\mathbf{e}}_1=\cos{(\theta_{11})}\hat{\mathbf{x}}_1+\cos{(\theta_{12})}\hat{\mathbf{x}}_2+\cos{(\theta_{13})}\hat{\mathbf{x}}_3=a_{11}\hat{\mathbf{x}}_1+a_{12}\hat{\mathbf{x}}_2+a_{13}\hat{\mathbf{x}}_3</math> 、
:<math>\hat{\mathbf{e}}_2=\cos{(\theta_{21})}\hat{\mathbf{x}}_1+\cos{(\theta_{22})}\hat{\mathbf{x}}_2+\cos{(\theta_{23})}\hat{\mathbf{x}}_3=a_{21}\hat{\mathbf{x}}_1+a_{22}\hat{\mathbf{x}}_2+a_{23}\hat{\mathbf{x}}_3</math> 、
:<math>\hat{\mathbf{e}}_3=\cos{(\theta_{31})}\hat{\mathbf{x}}_1+\cos{(\theta_{32})}\hat{\mathbf{x}}_2+\cos{(\theta_{33})}\hat{\mathbf{x}}_3=a_{31}\hat{\mathbf{x}}_1+a_{32}\hat{\mathbf{x}}_2+a_{33}\hat{\mathbf{x}}_3</math> 。

兩個參考系的坐標軸所形成的[[矩陣]]稱為「方向餘弦矩陣」 <math>A</math> ：
:<math>A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}</math> 。

採用[[愛因斯坦求和約定]]，由於 <math>\hat{\mathbf{e}}_i=a_{ij}\hat{\mathbf{x}}_j</math> ，給定方向餘弦矩陣 <math>A</math> ，則可設定附體參考系B的取向，也就是剛體的取向。

反過來，經過一番運算，可以得到 <math>\hat{\mathbf{x}}_j=a_{ij}\hat{\mathbf{e}}_i</math> 。

給定位置向量 <math>\mathbf{r}</math> 
:<math>\mathbf{r}=x_1\hat{\mathbf{x}}_1+x_2\hat{\mathbf{x}}_2+x_3\hat{\mathbf{x}}_3=e_1\hat{\mathbf{e}}_1+e_2\hat{\mathbf{e}}_2+e_3\hat{\mathbf{e}}_3</math> ，

則 <math>\mathbf{r}</math> 與 <math>\hat{\mathbf{e}}_i</math> 的[[內積]]為
:<math>\mathbf{r} \cdot \hat{\mathbf{e}}_i=e_i =a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3=a_{ij}x_j</math> 。

方向餘弦矩陣 <math>A</math> 可以將從空間參考系S觀測的位置坐標 <math>(x_1,x_2,x_3)</math> ，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標 <math>(e_1,e_2,e_3)</math> ，因此又稱為「變換矩陣」。

變換矩陣 <math>A</math> 也可以做反變換如下：
:<math>x_j=a_{ij}e_i</math> 。

變換矩陣 <math>A</math> 是一種[[正交矩陣]]，滿足「正交條件」
:<math>a_{ij}a_{ik}=\delta_{jk}</math> ；

其中，<math>\delta_{jk}</math> 是[[克羅內克函數]]。

注意到 <math>\theta_{ij}</math> 與 <math>\theta_{ji}</math> 不同，夾角 <math>\theta_{ji}</math> 是<math>\hat{\mathbf{e}}_j</math> 與空間參考系S的坐標軸單位向量 <math>\hat{\mathbf{x}}_i</math> 之間的夾角。變換矩陣 <math>A</math> 通常不是[[對稱矩陣]]。

[[File:PassiveActive.JPG|right|250px|thumb|左圖顯示「主動變換」：參考軸固定不動，點P被旋轉 <math>-\theta</math> 角弧成為點P'。右圖顯示「被動變換」：參考軸被旋轉 <math>\theta</math> 角弧，而點P固定不動。]]
變換矩陣 <math>A</math> 可以視為[[旋轉矩陣]]。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從 <math>\hat{\mathbf{e}}_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}_3</math> 旋轉 <math>\theta</math> 角弧成為 <math>\hat{\mathbf{e}}'_1</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}'_2</math> 、<math>\hat{\mathbf{e}}'_3</math> ；其中，<math>\hat{\mathbf{e}}_3=\hat{\mathbf{e}}'_3</math> 。對於這旋轉，旋轉矩陣 <math>A</math> 為
:<math>A= \begin{bmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} & 0 \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math> 。

參考軸 <math>\hat{\mathbf{e}}'_i</math> 與 <math>\hat{\mathbf{e}}_j</math> 之間的關係為
:<math>\hat{\mathbf{e}}'_i=a_{ij}\hat{\mathbf{e}}_j</math> 。

旋轉矩陣 <math>A</math> 也可以視為將點P的位置向量 <math>\mathbf{r}=x_i\hat{\mathbf{x}}_i</math> 旋轉 <math>-\theta</math> 角弧成為點P'的位置向量 <math>\mathbf{r}'=x'_i\hat{\mathbf{x}}_i</math> ：
:<math>x'_i=a_{ij}x_j</math> 。

==參考文獻==
{{reflist|2}}
*{{cite book |title=Mathematical Methods for Engineers and Scientists
|volume=2|first=K. T.|last=Tang|publisher=Springer|year=2006|isbn=3540302689|page=13}}

{{DEFAULTSORT:F}}
[[Category:代數幾何]]
[[Category:向量]]