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在[[数理逻辑]]中，'''新基础集合論'''（'''NF'''）是[[公理化集合論]]的一種，由[[威拉德·范奥曼·蒯因|蒯因]]构想出來作为对《[[数学原理]]》中[[类型论]]的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论'''NFU'''，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。

==类型论TST==

改进版本的[[类型论]]TST的基本谓词是'''等於'''和'''成员关系'''。TST有一个线性的类型层次：类型0由不加描述的个体组成。对于每个（元-）自然数''n''，类型''n''+1的对象是类型''n''对象的集合；类型''n''的集合有类型为''n''-1的成员。用等號连接的對象必须有相同的类型。下列两个原子公式简洁的描述了定类型规则：<math>x^{n} = y^{n} \ </math>和<math>x^{n} \in y^{n+1}</math>（符号仍可改进）。

TST的公理是：
*'''[[外延公理|外延性]]'''：带有相同成员的相同（正数）类型的集合是相等的；
*'''[[分类公理|概括]]公理模式'''，也就是：

:如果<math>\phi(x^n)\ </math>是[[合式公式|公式]]，则集合<math>\{x^n \mid \phi(x^n)\}^{n+1}</math>存在。
:换句话说，给定任何公式<math>\phi(x^n) \ </math>，存在集合<math>A^{n+1}\ </math>使得<math>\forall x^n \exists A^{n+1} [x^n \in A^{n+1} \leftrightarrow \phi(x^n)]</math>为真。

这个类型论比于《[[数学原理]]》首次发表的类型论簡單許多，因為它還得包括其参数不必然都有同样类型的'''关系类型'''。在1914年，[[諾伯特·維納]]展示了如何把'''[[有序对]]'''编码为集合的集合。这使得以这里描述的集合层次的方式消除了关系类型。

==蒯因集合论==
===公理和层化===
新基础（NF）是通过放弃TST的类型区别而获得的。NF的公理有：
*[[外延公理|外延性]]：有相同元素的两个对象是同一个对象；
*[[分类公理#无限制概括|概括模式]]：所有TST的概括实例，但去掉了类型索引（并且不用引入在变量之间新的同一性）。

通过约定，NF的[[分类公理#无限制概括|概括]]模式使用[[层化公式]]的概念來陈述，而不直接提及类型。一个公式<math>\phi</math>被称为是[[层化公式|层化]]的，如果存在从语法片段到自然数的一个[[函数]]''f''，使得对于任何<math>\phi</math>的原子子公式<math>x \in y</math>有''f''(''y'') = ''f''(''x'') + 1；而对于任何<math>\phi</math>的原子子公式<math>x=y</math>，有''f''(''x'') = ''f''(''y'')。概括接着变成：
:对于每个[[层化公式]]<math>\phi</math>存在<math>\{x \mid \phi \}</math>。甚至在[[层化]]概念内隐含的对类型的间接提及也可以消除。Hailperin在1944年证实了''概括''等价于它的一些推論的有限合取，所以NF可以有限的公理化而不提及类型的概念。

对于[[朴素集合论]]概括好像是不自洽的，但是在这里不是。例如，不可能的[[罗素悖论|罗素类]]<math>\{x \mid x \not\in x\}</math>不是NF集合，因为<math> x \not\in x </math>不能被层化。

===有序对===
[[关系 (数学)|关系]]和[[函数]]在TST（以及NF和NFU）中以通常的方式定义为[[有序对]]。首先由[[Kuratowski]]在1921年提议的[[有序对]]常用的定义对于NF和相关理论有个严重缺陷：结果的有序对必定有比它的参数（它的左和右[[投影]]）的类型高2的类型。所以為了决定分层，[[函数]]有比它的[[定义域]]的成员高3的类型。

如果能以其类型是同它的参数一样的类型的方式定义对（导致一个'''类型齐平'''有序对），则[[关系 (数学)|关系]]或[[函数]]有只比它的域的成员的类型高1的类型。所以NF和相关理论通常采用[[威拉德·冯·奥曼·蒯因|蒯因]]的[[有序对]]的集合论定义，這樣得出的是类型的类型-齐平的有序对。Holmes（1998）把有序对与它的左和右[[投影]]定為原始概念。幸运的是，無論有序对是通过定义或通过假定（就是作為原始概念）而类型齐平，通常是不重要的。

类型齐平有序对的存在蕴涵了“无穷公理”，而NFU +“无穷公理”解释了NFU +“存在着类型齐平的有序对”（它们不是同样的理论，但是区别无关紧要）。反过来，NFU +“无穷公理”+“选择公理”证明了类型齐平有序对的存在。

===有用的大集合的可容纳性===
NF（以及NFU +“无穷公理”+“选择公理”，下面描述并已知是相容的）允许构造两种集合，它們都是[[ZFC]]和它的真扩展所不允许的，因为“太大”的緣故（某些集合论在[[真类]]的名义下接受这些实体）：
*全集V。因为<math>x=x</math>是[[层化公式]]，通过概括存在[[全集]]<math>V = \{x \ | \ x=x \} \ </math>。直接的推论是所有集合都有[[补集]]，而在NF下的整个集合论全集有一个[[布尔代数|布尔结构]]。
*基数和序数。在NF（和TST）中，存在''n''个元素的所有集合的集合（这里[[循环推理|循环性]]只是外观上的）。所以[[弗雷格]]的[[基数 (数学)|基数]]定义在NF和NFU中可行；基数是集合在[[等势]][[关系 (数学)|关系]]下的[[等价类]]：集合''A''和''B''是等势的，如果存在它们之间的[[双射]]，在这种情况下我们写为<math>A \sim B \ </math>。类似的，[[序数]]是[[良序集合]]在[[相似]]关系下的[[等价类]]。

==NF(U)如何避免集合论悖论==
NF清除了三个周知的[[集合论]][[悖论]]。NFU這個{相对}[[一致性 (邏輯)|相容]]的理论也避免了这些悖论，增强了我们對這些理論的信心。

[[罗素悖论]]：<math>x \not\in x</math>不是层化公式，所以不會通過概括的任何推論得出<math>\{x \mid x \not\in x\}</math>的存在性。蒯因构造NF的时候大概最关注于这个悖论。

关于最大[[基数 (数学)|基数]]的[[康托尔悖论]]利用了[[康托尔定理]]对[[全集]]的应用。[[康托尔定理]]声称（假定[[ZFC]]）任何集合的<math>A \ </math>的[[幂集]]<math>P(A) \ </math>大于<math>A \ </math>（没有从<math>P(A) \ </math>到<math>A \ </math>的[[单射]]函数）。但如果<math>V \ </math>是全集的话，当然有从<math>P(V) \ </math>到<math>V \ </math>的[[单射]]。為了解决这个问题，我们需要注意到<math>|A| < |P(A)| \ </math>在类型论中没有意义：<math>P(A) \ </math>的类型比<math>A \ </math>的类型高1。正确的有类型版本（它是在类型论中的定理，成立的原因就像[[康托尔定理]]在[[策梅洛-弗兰克尔集合论|ZF]]中成立那樣）是<math>|P_1(A)| < |P(A)| \ </math>，这里的<math>P_1(A) \ </math>是<math>A \ </math>的單元素子集的集合。在这个定理中，使我们感兴趣的特殊实例是<math>|P_1(V)| < |P(V)| \ </math>：單元素集合们少于集合们（因此一个元素的集合们少于全体对象，如果我们在NFU中的话）。从全集到这些單元素集合明显的[[双射]]<math>x \mapsto \{x\} \ </math>不是一个集合；它不是集合是因为它的定义是非层化的。注意在所有已知的NFU的模型中<math>|P_1(V)| < |P(V)| << |V| \ </math>都成立；“选择公理”允许我们不只证明有基本元素，而且在<math>|P(V)| \ </math>和<math>|V| \ </math>之间有很多基数。

我们现在引入某些有用的概念。若集合<math>A \ </math>满足<math>|A| = |P_1(A)| \ </math>，就被称为'''康托尔式'''的：康托尔式集合满足通常形式的[[康托尔定理]]。集合<math>A \ </math>满足进一步条件<math>(x \mapsto \{x\})\lceil A \ </math>，即[[单元素集合]]映射在''A''上的[[函数#限制及扩张|限制]]，则不只是康托尔式的而且是'''强康托尔式'''的。

下面是关于最大[[序数]]的[[布拉利-福尔蒂悖论]]。我们定义(跟从[[朴素集合论]])序数是[[良序关系|良序排序]]在[[相似|相似性]]下的[[等价类]]。在[[序数]]上有一个明显的自然的良序排序；因为它是良序排序所以它属于一个序数<math>\Omega \ </math>。(通过[[超限归纳法]])可直接证明在小于一个给定序数<math>\alpha \ </math>的序数们上的自然次序的[[序类型]]是<math>\alpha \ </math>自身。但是这意味着<math>\Omega \ </math>是小于<math>\Omega  \ </math>的序数们的序类型，因此它严格小于所有序数的序类型 -- 但是通过定义，后者是<math>\Omega \ </math>自身！

在NF(U)中对这个悖论的解决开始于观察到在小于<math>\alpha \ </math>的序数们上的自然次序的序类型的类型比<math>\alpha \ </math>的类型高。因此类型齐平[[有序对]]的类型比它的参数的类型高1，而常规的Kuratowski有序对高3。对于任何序类型<math>\alpha \ </math>，我们可以定义比<math>\alpha \ </math>的类型高1的序类型：如果<math>W \in \alpha \ </math>，则<math>T(\alpha) \ </math>是次序<math>W^{\iota} = \{(\{x\},\{y\}) \mid xWy\}</math>的序类型。T运算的烦琐只是外观上的；可以轻易的证明T是在序数们上的严格的[[单调函数|单调]](序保持)运算。

我们可以用层化的方式重申关于序类型的引理：在小于<math>\alpha \ </math>的序数们上的自然次序的序类型是<math>T^2(\alpha) \ </math>或<math>T^4(\alpha) \ </math>，依赖于使用哪个有序对定义(我们在下文中假定类型齐平有序对)。从此我们可演绎出在小于<math>\Omega  \ </math>的序数们上的序类型是<math>T^2(\Omega) \ </math>，从它我们演绎出<math>T^2(\Omega)<\Omega \ </math>。因此T运算不是个函数；我们不能有从序数到序数的严格[[单调函数|单调]]集合映射，它向下映射一个序数！因为T是单调的，我们有<math>\Omega > T^2(\Omega) > T^4(\Omega)\ldots</math>，在序数们中的“递减序列”不能是集合。

某些人已经断言这个结果证实了没有NF(U)的模型是“标准”的，因此在任何NFU的模型中序数们外在的不是不是良序的。我们不接受这种立场，而我们注意到还有一个NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序数”；NFU不结论出全集''V''是NFU的模型，尽管''V''是集合，因为成员关系不是集合关系。

关于数学在NFU中的进一步开发，和与在[[ZFC]]中相同的开发的比较，请参见[[数学的集合论实现]]（[[:en:Implementation of mathematics in set theory]]）。

[[威拉德·冯·奥曼·蒯因|蒯因]]在1940年第一版的《数理逻辑》的集合论中，结合了[[冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论|von Neumann-Bernays-Gödel集合论]]的[[真类]]于NF，并为真类包括了一个无限制概括的公理模式。在1942年，[[J. Barkley Rosser]]证明了蒯因的集合论遭受Burali-Forti悖论。在1950年，[[王浩 (数学家)|王浩]]展示了如何修正蒯因的公理来避免这个问题，蒯因在1951年第二和最终版本的《数理逻辑》中包括了结果的公理化。

==参见==
*[[公理化集合论]]
*[[ZFC]]
*[[数学的集合论实现]]
*[[自然数的集合论定义]]
*[[正集合论]]
*[[可替代的集合论]]

== 引用 ==
*Holmes, Randall, 1998. ''[https://web.archive.org/web/20110411041046/http://math.boisestate.edu/%7Eholmes/holmes/head.pdf  Elementary Set Theory with a Universal Set]''. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
*[[Ronald Jensen|Jensen, R. B.,]] 1969, "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," ''Synthese 19'': 250-63. With discussion by Quine.
*[[Willard Quine|Quine, W. V.,]] 1980, "New Foundations for Mathematical Logic" in ''From a Logical Point of View'', 2nd ed., revised. Harvard Univ. Press: 80-101. The definitive version of where it all began, namely Quine's 1937 paper in the ''American Mathematical Monthly''.

== 外部链接 ==
*[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]:
**[http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf Quine's New Foundations] {{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf |date=20201109011931 }} -- by Thomas Forster.
**[http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/settheory-alternative/ Alternative axiomatic set theories]{{Dead link}} -- by Randall Holmes.
*Randall Holmes: [http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html  New Foundations Home Page.] {{Wayback|url=http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html |date=20200321023959 }}
*Randall Holmes: [http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/setbiblio.html Bibliography of Set Theory with a Universal Set.] {{Wayback|url=http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/setbiblio.html |date=20200321022953 }}

[[Category:集合论系统]]
[[Category:类型论]]
{{集合论}}