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[[數學]]的[[點集拓撲學]]中，'''斯通-切赫緊化'''（Stone–Čech compactification）是構造出從[[拓撲空間]]''X''到[[緊緻]][[豪斯多夫空間]]β''X''的泛映射的技巧。拓撲空間''X''的斯通－切赫緊化β''X''是由''X''「生成」的最大的緊緻豪斯多夫空間，意即任何從''X''到緊緻豪斯多夫空間的映射，都可以經由β''X''分解。若''X''是[[吉洪諾夫空間]]，則從''X''到其在β''X''中的像的映射是[[同胚]]，因此可以想像''X''是在β''X''中的[[稠密]]子空間。對一般拓撲空間，從''X''到β''X''的映射未必是[[單射]]。

證明任何拓撲空間都有斯通－切赫緊化，需用到[[選擇公理]]的一個形式。即使''X''是頗簡單的空間，β''X''通常也是很難以明白具體地描述。譬如β'''N''' \ '''N'''非空的各種證明（'''N'''是[[自然數]]集合），都不會直接描述出β'''N''' \ '''N'''內的任何一點。

==泛性質和函子性==
β''X''是一個緊緻豪斯多夫空間，連同一個從''X''到β''X''的連續映射。β''X''有以下的[[泛性質]]：任何連續映射''f:'' ''X'' → ''K''，其中''K''是緊緻豪斯多夫空間，可以唯一地提升到連續映射 β''f:'' β''X'' → ''K''.
:[[Image:Stone–Cech compactification.png|120px]]

β''X''的這個泛性質，加上β''X''是包含''X''的緊緻豪斯多夫空間，就完全地刻畫了β''X''，[[同胚]]的差別不計(up to homeomorphism)。

有些作者會加上假設''X''是[[吉洪諾夫空間]]（或甚至是[[局部緊]][[豪斯多夫空間]]），原因為：

*從''X''到在β''X''中的像的映射是同胚，當且僅當''X''是吉洪諾夫的。
*從''X''到在β''X''中的像的映射是同胚到一個[[開集|開]]子空間，當且僅當''X''是局部緊豪斯多夫的。

更一般的拓撲空間''X''上，都可以斯通－切赫緊化，但映射''X'' → β''X''未必是同胚到''X''的像（有時甚至不是單射）。

上述的擴張性使β成為一個從'''Top'''（拓撲空間的[[範疇 (數學)|範疇]]）到'''CHaus'''（緊豪斯多夫空間的範疇）的[[函子]]，設''U''是從 '''CHaus'''到'''Top'''的[[子範疇|包含函子]]，那麼從β''X''到''K''的映射（''K''在'''CHaus'''內）一一對應到從''X''到''UK''的映射（將映射限制到''X''，並使用β''X''的泛性質），即是
:Hom(β''X'', ''K'') = Hom(''X'', ''UK'')
故β是''U''的[[伴隨函子|左伴隨函子]]。因此'''CHaus'''是'''Top'''的[[反射子範疇]]，反射函子為β。

==構造==
===用單位區間構造===
構造β''X''的一個方法是考慮映射
:<math>X \to [0, 1]^{C}</math>
:<math>x \mapsto ( f(x) )_{f \in C}</math>
其中''C''是所有從''X''到[0, 1]的[[連續映射]]的集合。若賦予[0, 1]<sup>''C''</sup>[[積拓撲]]，那麼這映射是連續的。因為[0,1]是緊緻集，由[[吉洪諾夫定理]]（與選擇公理等價）可知[0, 1]<sup>''C''</sup>也是緊緻集。因此''X''在[0, 1]<sup>''C''</sup>中的像的[[閉包]]是''X''的一個緊化。

這個緊化就是斯通－切赫緊化。要證明這個結果，只要檢驗這個緊化符合應有的泛性質。首先檢驗''K'' = [0, 1]，映射''f'': ''X'' → [0, 1]的擴張，就是從[0, 1]<sup>''C''</sup>到''f''座標上的投射。對一般的''K''，注意到''K''是[[分離公理|完全正則空間]]，所以能[[嵌入 (數學)|嵌入]]到一個立體（即形為[0, 1]<sup>''I''</sup>的積空間）中。現在用前述的結果擴張每個座標函數，然後取這些擴張的積。

===用超濾子構造===
若''X''是離散空間，可以構造β''X''為''X''的所有[[超濾子]]的集合，並賦予一個拓撲，稱為'''斯通拓撲'''。''X''的各元素對應到各主要超濾子。

要驗證泛性質，設''f'': ''X'' → ''K''，''K''是緊緻豪斯多夫空間，''F''是''X''上的一個超濾子。那麼可得在''K''上的超濾子''f''(''F'')。因為''K''是緊緻的，這個超濾子存在極限，又因為''K''是豪斯多夫的，故這個極限唯一，設為''x''。定義β''f''(''F'') = ''x''。可以證明這是''f''的連續擴張。

== 參考 ==
*{{citation|first=E.|last= Čech|title=On bicompact spaces|journal=  Ann. Math. |volume= 38  |year=1937  |pages= 823–844
|doi=10.2307/1968839|issue=4|publisher=The Annals of Mathematics, Vol. 38, No. 4 |jstor=1968839}}
*{{citation
|last=Hindman|first= Neil|last2= Strauss|first2= Dona
|title=Algebra in the Stone-Cech compactification. Theory and applications |series=de Gruyter Expositions in Mathematics|volume= 27|publisher= Walter de Gruyter & Co.|publication-place= Berlin|year= 1998|pages= xiv+485 pp. |isbn= 3-11-015420-X
|mr=1642231}}
*{{springer|id=S/s090340|first=I.G. |last=Koshevnikova}}
*{{citation|first=M.H.|last= Stone|title=Applications of the theory of Boolean rings to general topology  |journal=Trans. Amer. Soc. |volume= 41  |year=1937|pages= 375–481
|issue=3|doi=10.2307/1989788|publisher=Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 41, No. 3 |jstor=1989788}}
*{{Citation | last1=Tychonoff | first1=A. | title=Über die topologische Erweiterung von Räumen | url=http://dx.doi.org/10.1007/BF01782364 | publisher=Springer Berlin / Heidelberg | doi=10.1007/BF01782364 | year=1930 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=102 | pages=544–561}}
*{{citation|first=Allen|last=Shields|title=Years ago|journal=The Mathematical Intelligencer|volume= 9|issue=2  |year=1987  |pages= 61–63|doi=10.1007/BF03025901}}

==外部連結==
* {{PlanetMath|title=Stone-Čech compactification}}
* Dror Bar-Natan, ''[http://www.math.toronto.edu/~drorbn/classes/9293/131/ultra.pdf Ultrafilters, Compactness, and the Stone–Čech compactification] {{Wayback|url=http://www.math.toronto.edu/~drorbn/classes/9293/131/ultra.pdf |date=20120204095219 }}''

{{DEFAULTSORT:S斯通－切赫緊化}}
[[分類:點集拓撲學]]
[[分類:緊化]]