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在[[数学]]和[[理论物理学]]中，'''斯通-冯诺伊曼定理'''是指[[位置向量|位置]]和[[动量]][[算符|算子]]间的[[正则对易关系]]的唯一性的众多不同表述中的一种。它冠名于[[马歇尔·斯通]]和[[约翰·冯诺伊曼|约翰·冯·诺依曼]]。<ref>{{Citation|last=von Neumann|first=J.|author1-link=John von Neumann|title=Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren|publisher=Springer Berlin / Heidelberg|doi=10.1007/BF01457956|year=1931|journal=[[Mathematische Annalen]]|issn=0025-5831|volume=104|pages=570–578}}</ref><ref>{{Citation|last=von Neumann|first=J.|author1-link=John von Neumann|title=Ueber Einen Satz Von Herrn M. H. Stone|jstor=1968535|publisher=Annals of Mathematics|language=German|series=Second Series|year=1932|journal=[[Annals of Mathematics]]|issn=0003-486X|volume=33|number=3|pages=567–573|doi=10.2307/1968535}}</ref><ref>{{Citation|last=Stone|first=M. H.|author-link=Marshall Harvey Stone|title=Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory|jstor=85485|publisher=National Academy of Sciences|year=1930|journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|issn=0027-8424|volume=16|number=2|pages=172–175|bibcode=1930PNAS...16..172S|doi=10.1073/pnas.16.2.172|pmc=1075964|pmid=16587545}}</ref><ref>{{Citation|first=M. H.|last=Stone|author-link=Marshall Harvey Stone|jstor=1968538|title=On one-parameter unitary groups in Hilbert Space|journal=Annals of Mathematics|volume=33|number=3|pages=643–648|year=1932|doi=10.2307/1968538}}</ref>

== 对易关系的表示问题 ==
在[[量子力学]]中，物理[[可觀察量|可观测量]]在数学上由[[希尔伯特空间]]上的[[线性映射|线性算子]]来表示。

对于在[[实轴]] <math>\mathbb{R}</math> 上运动的单个粒子，有两个重要的可观测量：位置和动量。在[[薛丁格繪景|薛定谔绘景]]中，[[位置算符|位置算子]] <math>x</math> 和[[動量算符|动量算子]] <math>p</math> 在 <math>\psi</math> 上的作用定义为<math display="block">\begin{align}[]
[x \psi](x_0) &= x_0 \psi(x_0) \\[]
[p \psi](x_0) &= - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}(x_0)
\end{align}</math>定义域 <math>V</math> 中的 <math>\psi</math> 是 <math>\mathbb{R}</math> 上的紧支撑无穷可微函数。假定 <math>\hbar</math> 是一固定的<u>非零</u>实数——在量子理论中 <math>\hbar</math> 即是[[普朗克常数|约化普朗克常数]]，其具有作用量的[[量纲]]（即能量乘时间的量纲）。

算子 <math>x</math>, <math>p</math> 满足[[對易關係|正则对易关系]]的李代数：<math display="block"> [x,p] = x p - p x = i \hbar.</math>[[赫尔曼·外尔]]在他的经典著作<ref>[[赫尔曼·外尔|Weyl, H.]] (1927), "Quantenmechanik und Gruppentheorie", ''Zeitschrift für Physik'', '''46''' (1927) pp.&nbsp;1–46, {{Doi|10.1007/BF02055756}}; Weyl, H., ''The Theory of Groups and Quantum Mechanics'', Dover Publications, 1950, {{ISBN|978-1-163-18343-4}}.</ref>中指出，若 <math>x</math>, <math>p</math> 是作用于[[向量空间的维数|有限维]]空间上的线性算子，除非 <math>\hbar</math> 为零，否则它们不可能满足上面的对易关系。这一点可通过对第二个等号的两边取[[跡|迹]]并使用关系 <math>\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)</math> 之间看出：左边将为零，而右边却非零。进一步的分析表明，任何两个满足上述对易关系的[[自伴算子]]不可能同时是[[有界算子|有界的]]（事实上， [[赫尔穆特·维兰德|Wielandt]]的一个定理表明，<u>任何</u>[[赋范代数]]的元素都不可能满足该关系<ref group="note">{{Math|1=[''x<sup>n</sup>'', ''p''] = ''i'' ℏ ''nx''<sup>''n'' − 1</sup>}}, 于是 {{Math|2{{norm|''p''}}&thinsp;{{norm|''x''}}<sup>''n''</sup> ≥ ''n'' ℏ {{norm|''x''}}<sup>''n'' − 1</sup>}}, 从而, {{Math|∀''n'': 2{{norm|''p''}}&thinsp;{{norm|''x''}} ≥ ''n'' ℏ}}.</ref>）。为了记号上的方便， <math>\hbar</math> 的非零平方根可以被吸收到 <math>x</math>, <math>p</math> 的定义中，如此也就是说可以用 1 替换它，下文将使用这种约定。

斯通-冯诺伊曼定理的思想是，正则对易关系的任意两个不可约表示都是幺正等价的。然而，由于所涉及的算子必然是无界的（如上所述），存在一些棘手的定义域问题，允许反例的存在。<ref name="Hall 2013">{{Citation|last=Hall|first=B.C.|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267|publisher=Springer|year=2013|isbn=978-1461471158}}</ref> {{Rp|Example 14.5}}为了获得严格的结果，必须要求算子满足标准对易关系的指数形式，即所谓的外尔关系。指数映射后的算子是有界且幺正的。虽然这些关系在形式上等同于标准规范交换关系，但这种等价性并不严格，这（同样）是算子的无界性质导致的。（还有一个外尔关系的离散类比，在有限维空间中成立{{R|Hall 2013|p=Chapter 14, Exercise 5}} ，即有限海森堡群中的[[詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特|西尔维斯特]][[泡利矩阵的推广|时钟和移位矩阵]]，如下所述。）

== 表示的唯一性 ==
人们希望对作用于[[可分空间|可分]]希尔伯特空间的两个自伴算子的正则对易关系的表示进行分类，每个类内的表示都幺正等价。根据[[单参数酉群的斯通定理]]，自伴算子与（强连续）单参数酉群之间存在一一对应关系。

令 <math>Q</math> 和 <math>P</math> 是两个满足正则对易关系 <math>[Q,P]=i</math> 的自伴算子；另有两个实参数 <math>s</math> 和 <math>t</math> 。藉由[[函数演算]]，可引入 <math>e^{itQ}</math>和 <math>e^{isP}</math> 及其对应的酉群。（对于上面显式定义的算子 <math>x</math>, <math>p</math> ，则分别是 <math>e^{itx}</math> 的[[乘法算子]]和平移变换 <math>x\mapsto x+s</math> 的[[拉回 (微分几何)|拉回]]。）容易通过一个形式上的计算{{R|Hall 2013|p=Section 14.2}} （用到[[贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式]]的一个特例）得出<math display="block">e^{itQ} e^{isP} = e^{-i st} e^{isP} e^{itQ} .</math>反过来，给定两个满足下面的交织关系的单参数酉群 <math>U(t)</math> 和 <math>V(s)</math> ：{{Equation box 1|border|indent=:|equation=<math>\forall s, t,\quad U(t)V(s) = e^{-i st} V(s) U(t),</math>|ref=E1|cellpadding=6|border colour=#0073CF}}通过形式上求在 0 处的导数，即可看出它们的两个无穷小生成元满足前文的正则对易关系。单参数酉群的正则对易关系（CCR）的这种交织形式称为'''CCR的外尔形式'''。

值得注意的是，前述推导纯粹是形式上的。由于所涉及的算子是无界的，因此一些技术问题会阻止人们在不额外对定义域作假设的情况下应用[[贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式]]。实际上，确实存在满足正则对易关系却不满足外尔关系 ({{EquationNote|E1}}) 的算子。{{R|Hall 2013|p=Example 14.5}}尽管如此，在“好”的情况下，我们希望满足正则对易关系的算子也将满足外尔关系。

因此，问题变为对联合[[不可约表示|不可约]]、且满足可分希尔伯特空间上的外尔关系的两个单参数酉群 <math>U(t)</math> 和 <math>V(s)</math> 进行分类。答案就是'''斯通-冯诺依曼定理'''的内容：所有这样的单参数酉群对都是酉等价的。{{R|Hall 2013|p=Theorem 14.8}}换句话说，对于不可约地作用于希尔伯特空间 <math>H</math> 上的任何两个这样的 <math>U(t)</math> 和 <math>V(s)</math> ，存在一个幺正算子 <math>W:L^2(R)\to H</math> 使得<math display="block">W^*U(t)W = e^{itx} \quad \text{and} \quad W^*V(s)W = e^{isp},</math>
[[Category:数学物理定理]]
[[Category:泛函分析定理]]
[[Category:泛函分析]]