查看“︁斯皮尔曼等级相关系数”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|zh-cn:通过; zh-tw:透過;
}}
[[File:spearman fig1.svg|300px|right|thumb|斯皮尔曼等级相关系数为1表明两个被比较的变量是单调相关的，即使它们之间的相关关系可能并非线性的。相较而言，其[[皮尔逊相关系数|皮尔逊相关关系]]并不完美。]]
[[File:spearman fig2.svg|300px|right|thumb|当数据大致呈椭圆分布且没有明显的离群点时，皮尔逊相关系数的值和斯皮尔曼相关系数的值接近。]]
[[File:spearman fig3.svg|300px|right|thumb|对样本中的显著离群点，斯皮尔曼相关系数比皮尔逊相关系数不敏感。]]

'''斯皮尔曼等级相关系数'''（简称'''等级相关系数'''，或称'''秩相关系数'''，{{lang-en|Spearman's rank correlation coefficient}}或{{lang|en|Spearman's ρ}}），在[[统计学]]中，常以希腊字母[[ρ|<math>\rho</math>]]（rho）或以<math>r_s</math>表示，這一相關係數以{{tsl|en|Charles Spearman|查尔斯·斯皮尔曼}}之名命名。它是衡量两个[[变量]]的[[相关性]]的[[無母數統計|無母數]]指标。它利用[[单调函数]]评价两个统计变量的相关性。若数据中没有重复值，且当两变量完全单调相关时，斯皮尔曼相关系数为+1或−1。

==定义和计算==
斯皮尔曼相关系数的定义为[[排名|等级变量]]之间的[[皮尔逊相关系数]]。<ref name="myers2003">{{Citation | last1=Myers | first1=Jerome L. | first2=Arnold D.  |last2= Well | title=Research Design and Statistical Analysis | publisher=Lawrence Erlbaum | year=2003 | edition=2nd | isbn=0-8058-4037-0 | pages=508}}</ref>

对于样本容量为{{Mvar|n}}的样本，将{{Mvar|n}}个[[原始数据]]<math>X_i, Y_i</math>转换成等级数据<math>\operatorname{R}({X_i}), \operatorname{R}({Y_i})</math>，则相关系数<math>r_s</math>为 

: <math>
 r_s =
 \rho_{\operatorname{R}(X),\operatorname{R}(Y)} =
 \frac{\operatorname{cov}(\operatorname{R}(X), \operatorname{R}(Y))}
      {\sigma_{\operatorname{R}(X)} \sigma_{\operatorname{R}(Y)}},
</math>

其中
: <math>\rho</math>是[[皮尔逊积矩相关系数]]，但使用等级变量来计算，
: <math>\operatorname{cov}(\operatorname{R}(X), \operatorname{R}(Y))</math>为等级变量的[[协方差]]，
: <math>\sigma_{\operatorname{R}(X)}</math>和<math>\sigma_{\operatorname{R}(Y)}</math>为等级变量的[[标准差]]。

通常，对于数据中相同的值，其等级数等于它们按值升序排列的所处位置的平均值。<ref>{{cite book | last=Dodge | first=Yadolah | date=2010 | title=The Concise Encyclopedia of Statistics | url=https://archive.org/details/conciseencyclope00ydod | url-access=limited | publisher=Springer-Verlag New York  | page=[https://archive.org/details/conciseencyclope00ydod/page/n499 502] | isbn=978-0-387-31742-7 }}</ref>如下表所示：

{|class="wikitable"
!变量<math>X_i</math> !! 升序位置<br />（仅示意，不使用） !! 升序位置的平均等级数<br />（使用）
|-
|18||1||1
|-
|2.3||2||2
|-
|1.2||3||<math>\frac{4+3}{2}=3.5\ </math>
|-
|1.2||4||<math>\frac{4+3}{2}=3.5\ </math>
|-
|0.8||5||5
|}

当所有的等级数值都为整数时，可以通过以下简单的步骤计算等级相关系数：<ref name="myers2003"/><ref>Maritz. J.S. (1981) ''Distribution-Free Statistical Methods'', Chapman & Hall. ISBN 0-412-15940-6. (page 217)</ref>

: <math>r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)},</math>

其中
: <math>d_i = \operatorname{R}(X_i) - \operatorname{R}(Y_i)</math>为每组观测中两个变量的等级差值，
: ''n''为观测数。

{{hidden begin|style=width:60%|ta1=center|border=1px #aaa solid|title=证明}}
考虑一个双变量样本<math>(x_i, y_i),\, i=1\dots, n</math>，其相应的位次为<math>(R(X_i), R(Y_i)) = (R_i, S_i)</math>。则<math>x,y</math>的斯皮尔曼等级相关系数为：

:<math>
r_{s} =
    \frac{
        \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_{i}S_{i}
        - \overline{R}\,\overline{S}
    }{
        \sqrt{\sigma_{R}}
        \sqrt{\sigma_{S}}
    },
</math>  

其中：
<math>\overline{R} = \textstyle\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n}R_{i}</math>，
<math>\overline{S} = \textstyle\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n}S_{i}</math>，
<math>\sigma_{R}^{2} = \textstyle\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n}(R_{i} - \overline{R})^{2}</math>，
<math>\sigma_{S}^{2} = \textstyle\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n}(S_{i} - \overline{S})^{2}</math>，

若假定样本中两变量均没有重复数值，则<math>r_{s}</math>可只用<math>d_{i} := R_{i} - S_{i}</math>来给出。

在此假定下，<math>R,S</math>可视为随机变量，其分布类似于均匀分布随机变量，<math>U</math>，其自变量取值为<math>\{1,2,\ldots,n\}</math>。

因此
<math>\overline{R}=\overline{S}=\mathbb{E}[U]</math>
且
<math>\sigma_{R}^{2}=\sigma_{S}^{2}=\mathrm{Var}(U)=\mathbb{E}[U^{2}]-\mathbb{E}[U]^{2}</math>，
其中
<math>\mathbb{E}[U] = \textstyle\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n} i = \textstyle\frac{(n+1)}{2}</math>，
<math>\mathbb{E}[U^{2}] = \textstyle\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \textstyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6}</math>，
故有
<math>\mathrm{Var}(U) = \textstyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\textstyle\frac{(n+1)}{2}\right)^{2} = \textstyle\frac{n^{2}-1}{12}</math>。
（这些求和可以用[[三角形數]]和[[四角錐數]]的公式来计算，也可以用离散数学的基本求和结果来计算。）

既然

:<math>
\begin{align}
    \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_{i}S_{i}
        - \overline{R}\overline{S}
    &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}(R_{i}^{2} + S_{i}^{2} - d_{i}^{2})
        - \overline{R}^{2}\\
    &= \frac{1}{2}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_{i}^{2}
        +
        \frac{1}{2}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_{i}^{2}
        - \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}
        - \overline{R}^{2}\\
    &= (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_{i}^{2} - \overline{R}^{2})
        - \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\
    &= \sigma_{R}^{2} - \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\
    &= \sigma_{R}\sigma_{S} - \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\
\end{align}
</math>

则综上可得

:<math>
    r_s = \frac{
        \sigma_{R}\sigma_{S} - \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}
    }{
        \sigma_{R}\sigma_{S}
    }
    = 1 - \frac{
        \sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}
    }{
        2n \cdot \frac{n^{2}-1}{12}
    }
    = 1 - \frac{
        6\sum_{i=1}^{n}d_{i}^{2}
    }{n(n^{2} - 1)}.
</math>
{{hidden end}}

当数据中存在相等的数值时，使用该简化公式会得到错误结果：只有在两组变量中所有数值不重复时，才有<math>\sigma_{\operatorname{R}(X)} \sigma_{\operatorname{R}(Y)} = \operatorname{Var}{(\operatorname{R}(X))} = \operatorname{Var}{(\operatorname{R}(Y))} = (n^2 - 1)/12</math>（根据有偏方差计算）。第一个方程（通过标准差进行归一化）即使在排名标准化为[0,&nbsp;1]（“相对排名”）的情况下仍可使用，因为它对平移和线性缩放都不敏感。

对于截取的数据也不应使用简化公式。即，当希望计算前''X''条记录的等级相关系数时，应当使用前述的皮尔逊积矩相关系数公式。<ref name="Jaber">{{Cite book | last1=Al Jaber | first1=Ahmed Odeh | first2=Haifaa Omar  |last2=Elayyan | title=Toward Quality Assurance and Excellence in Higher Education | publisher=River Publishers | year=2018 | isbn=978-87-93609-54-9 | pages=284}}</ref>

==相关度量==
{{Main|相关 (概率论)}}

度量一对观测数据的[[独立 (概率论)|统计相关性]]还有其他的几种度量指标。其中最常用的是[[皮尔逊积矩相关系数]]。

斯皮尔曼相关也可称为「级别相关」（grade correlation）；<ref name="Yule and Kendall">Yule, G.U and Kendall, M.G. (1950), "An Introduction to the Theory of Statistics", 14th Edition (5th Impression 1968). Charles Griffin & Co. page 268</ref> 也就是说， 被观测数据的「等级」被替换成 「级别」。在连续的分布中， 被观测数据的级别，通常总是小于等级的一半。然而，在这个案例中，级别和等级相关系数是一致的。更一般的，  被观测数据的「级别」 与估计的总体样本的比值小于给定的值，即被观测值的一半。也就是说，它是相应的等级系数的一种可能的解决方案。虽然不常用，「级别相关」还是仍然有被使用。<ref>Piantadosi, J.; Howlett, P.; Boland, J. (2007) "Matching the grade correlation coefficient using a copula with maximum disorder", ''Journal of Industrial and Management Optimization'', 3 (2), 305–312</ref>

==解释==
{{Multiple image
|direction = vertical
|width = 300px
|header = 斯皮尔曼相关系数的正负性的解读
|image1 = Spearman fig5.svg
|caption1 = 正的斯皮尔曼相关系数反映两个变量{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}之间单调递增的趋势。
|image2 = Spearman fig4.svg
|caption2 = 负的斯皮尔曼相关系数反映两个变量{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}之间单调递减的趋势。
}}

斯皮尔曼相关系数表明{{Mvar|X}}（自变量）和{{Mvar|Y}}（因变量）的相关方向。如果当{{Mvar|X}}增加时，{{Mvar|Y}}趋向于增加，则斯皮尔曼相关系数为正。如果当{{Mvar|X}}增加时，{{Mvar|Y}}趋向于减少，则斯皮尔曼相关系数为负。斯皮尔曼相关系数为0表明当{{Mvar|X}}增加时{{Mvar|Y}}没有任何趋向性。当{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}越来越接近完全的单调相关时，斯皮尔曼相关系数会在绝对值上增加。当{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}完全单调相关时，斯皮尔曼相关系数的绝对值为1。完全的单调递增关系意味着对任意两对数据{{Math|''X<sub>i</sub>'',&nbsp;''Y<sub>i</sub>''}}和{{Math|''X<sub>j</sub>'',&nbsp;''Y<sub>j</sub>''}}，有{{Math|''X<sub>i</sub>''&nbsp;−&nbsp;''X<sub>j</sub>''}}和{{Math|''Y<sub>i</sub>''&nbsp;−&nbsp;''Y<sub>j</sub>''}}总是同号。完全的单调递减关系意味着对任意两对数据{{Math|''X<sub>i</sub>'',&nbsp;''Y<sub>i</sub>''}}和{{Math|''X<sub>j</sub>'',&nbsp;''Y<sub>j</sub>''}}，有{{Math|''X<sub>i</sub>''&nbsp;−&nbsp;''X<sub>j</sub>''}}和{{Math|''Y<sub>i</sub>''&nbsp;−&nbsp;''Y<sub>j</sub>''}}总是异号。

斯皮尔曼相关系数经常被称作“非参数”的，其中有两层含义。首先，当{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}的关系由任意[[单调函数]]描述时，则它们是完全皮尔逊相关的。与此相应的，皮尔逊相关系数只能给出由线性方程描述的{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}的相关性。其次，斯皮尔曼不需要先验知识（也就是说，知道其参数）便可以准确获取{{Mvar|X}}和{{Mvar|Y}}的采样[[概率分布]]。

==示例==
在此例中，我们要使用下表所给出的原始数据计算一个人的[[智商]]和其每周看[[电视]]的小时数的相关性（数据为虚构）。

{| class="wikitable"
|-
![[智商]], <math>X_i</math>
!每周看电视小时数, <math>Y_i</math>
|-
|106
|7
|-
|86
|0
|-
|100
|27
|-
|101
|50
|-
|99
|28
|-
|103
|29
|-12
|97
|20
|-
|113
|12
|-
|112
|6
|-
|110
|17
|}

首先，我们必须根据以下步骤计算出<math>d^2_i</math>，如下表所示。
# 排列第一列数据（<math>X_i</math>）。创建新列 <math>x_i</math> 并赋以等级值1、2、3……''n''。
# 然后，排列第二列数据（<math>Y_i</math>）。创建第四列 <math>y_i</math> 并相似地赋以等级值1、2、3……''n''。
# 创建第五列<math>d_i</math>，填入两个等级列（<math>x_i</math>和<math>y_i</math>）的差值。
# 创建最后一列<math>d^2_i</math>填入<math>d_i</math>的平方。

{| class="wikitable"
|-
![[智商]], <math>X_i</math>
!每周看电视小时数, <math>Y_i</math>
!<math>x_i</math>的排名
!<math>y_i</math>的排名
!<math>d_i</math>
!<math>d^2_i</math>
|-
|86
|0
|1
|1
|0
|0
|-
|97
|20
|2
|6
| −4
|16
|-
|99
|28
|3
|8
| −5
|25
|-
|100
|27
|4
|7
| −3
|9
|-
|101
|50
|5
|10
| −5
|25
|-
|103
|29
|6
|9
| −3
|9
|-
|106
|7
|7
|3
|4
|16
|-
|110
|17
|8
|5
|3
|9
|-
|112
|6
|9
|2
|7
|49
|-
|113
|12
|10
|4
|6
|36
|}
[[File:Spearman's Rank chart.png|thumb|数据相应的图表。可以看出，两者之间似乎存在负相关关系，但这种关系难以直接确定。]]

根据<math>d^2_i</math>计算<math>\sum d_i^2 = 194</math>。样本容量{{Mvar|n}}为10。将这些值带入方程

:<math> \rho = 1- {\frac {6\times194}{10(10^2 - 1)}}</math>

得''ρ''&nbsp;=&nbsp;−0.175757575...，[[p-value]] = 0.627188（使用[[t分布]]）

该数值接近0，表明尽管看电视时间和智商似乎呈负相关，但两个变量之间的关系很弱。在原始数据中存在相同数值的情况下，不应使用此公式，而应当用排名计算皮尔逊相关系数（如上文所述）。

==显著性的确定==
一种确定被观测数据的{{Mvar|ρ}}值是否显著不为零（{{Mvar|r}}总是有{{Math|1 ≥ ''r'' ≥ −1}}）的方法是计算它是否大于{{Mvar|r}}的概率，作为[[零假设]]，并使用[[排列检验]]。这种方法的优势在于它考虑了样本中的重复出现的数据个数，以及在计算等级相关性时处理它们的方式。

另一种方法是使用皮尔逊积矩中使用到的[[费雪变换]]。也就是，{{Mvar|ρ}}的[[置信区间]]和[[假說檢定]]可以通过费雪变换获得

: <math>F(r) = {1 \over 2}\ln{1+r \over 1-r} = \operatorname{arctanh}(r).</math>

如果{{Math|''F''(''r'')}}是{{Mvar|r}}的费雪变换，则

:<math>z = \sqrt{\frac{n-3}{1.06}}F(r)</math>

是{{Mvar|r}}的[[標準分數|z-值]]，其中，{{Mvar|r}}在[[统计独立性]]（{{Math|1=''ρ''&nbsp;=&nbsp;0}}）<ref>Choi, S.C. (1977) Test of equality of dependent correlations. ''[[Biometrika]]'',
64 (3), pp.&nbsp;645–647</ref><ref>Fieller, E.C.; Hartley, H.O.; Pearson, E.S. (1957) ''Tests for rank correlation coefficients. I''. Biometrika 44, pp.&nbsp;470–481</ref>的[[零假设]]下近似服从标准[[正态分布]]。

显著性为

:<math>t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}</math>

其在[[零假设]]下近似服从自由度为{{Math|''n''&nbsp;−&nbsp;2}}的[[t分布]]。<ref>Press, Vettering, Teukolsky, and Flannery (1992) ''Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd Edition'', page 640</ref> A justification for this result relies on a permutation argument.<ref>Kendall, M.G., Stuart, A. (1973)''The Advanced Theory of Statistics, Volume 2: Inference and Relationship'', Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (Sections 31.19, 31.21)</ref>

一般地，斯皮尔曼相关系数在有三个或更多条件的情况下是有用的。并且，它预测观测数据有一个特定的顺序。例如，在同一任务中，一系列的个体会被尝试多次，并预测在多次尝试过程中，性能会得到提升。在这种情况下，对条件间趋势的显著性检验由E. B. Page<ref>{{cite journal |author=Page, E. B. |title=Ordered hypotheses for multiple treatments: A significance test for linear ranks |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1963-03_58_301/page/216 |journal=Journal of the American Statistical Association |volume=58 |pages=216–230 |year=1963 |doi=10.2307/2282965 |issue=301}}
</ref>发展了，并通常称为给定序列下的[[Page趋势检验]]。

== 基于斯皮尔曼相关系数的一致性分析 ==
经典的{{tsl|en|Correspondence analysis|一致性分析}}是一种统计方法，它给两个标称变量赋给一个分数。通过这种方法，两个变量间的[[皮尔逊相关系数]]被最大化了。

有一种被称为[[级别相关分析]]的等价方法，它能够最大化斯皮尔曼相关系数或{{tsl|en|Kendall rank correlation coefficient|肯德尔等级相关系数}}。<ref>{{cite book|last=Kowalczyk|first=T.|coauthors=Pleszczyńska E. , Ruland F. (eds.)| year=2004|title=Grade Models and Methods for Data Analysis with Applications for the Analysis of Data Populations|series=Studies in Fuzziness and Soft Computing vol. 151|publisher=Springer Verlag|location=Berlin Heidelberg New York|isbn=978-3-540-21120-4}}</ref>

==参见==
* {{tsl|en|Kendall rank correlation coefficient|肯德尔等级相关系数}}
* {{tsl|en|Rank correlation|等级相关}}
* [[切比雪夫總和不等式]]、[[排序不等式]]
* [[皮尔逊积矩相关系数]]
* [[圖模式]]
* [[马尔可夫链]]
* [[马尔可夫逻辑网络]]

==参考文献==
{{Reflist}}
* G.W. Corder, D.I. Foreman, "Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach", Wiley (2009)
* C. Spearman,   "The proof and measurement of association between two things"  Amer. J. Psychol., 15  (1904)  pp.&nbsp;72–101
* M.G. Kendall,   "Rank correlation methods", Griffin  (1962)
* M. Hollander,   D.A. Wolfe,   "Nonparametric statistical methods", Wiley  (1973)
* J. C. Caruso, N. Cliff, "Empirical Size, Coverage, and Power of Confidence Intervals for Spearman's Rho", Ed. and Psy. Meas., 57 (1997) pp.&nbsp;637–654

==外部链接==
* [http://www.crystalballservices.com/Resources/ConsultantsCornerBlog/EntryId/73/Copulas-Vs-Correlation.aspx "Understanding Correlation vs. Copulas in Excel"] {{Wayback|url=http://www.crystalballservices.com/Resources/ConsultantsCornerBlog/EntryId/73/Copulas-Vs-Correlation.aspx |date=20120417150054 }} by Eric Torkia, Technology Partnerz 2011
*[http://www.sussex.ac.uk/Users/grahamh/RM1web/Rhotable.htm Table of critical values of ρ for significance with small samples] {{Wayback|url=http://www.sussex.ac.uk/Users/grahamh/RM1web/Rhotable.htm |date=20120414183835 }}
*[http://statistics.laerd.com/calculators/spearmans-rank-order-correlation-calculator.php A calculator that shows the working out for Spearman's correlation] {{Wayback|url=http://statistics.laerd.com/calculators/spearmans-rank-order-correlation-calculator.php |date=20120310094040 }}
*[http://www.maccery.com/maths Spearman's rank online calculator] {{Wayback|url=http://www.maccery.com/maths |date=20120320213401 }}
*[https://web.archive.org/web/20120420220419/http://faculty.vassar.edu/lowry/webtext.html Chapter 3 part 1 shows the formula to be used when there are ties]
*[http://udel.edu/~mcdonald/statspearman.html Spearman's rank correlation] {{Wayback|url=http://udel.edu/~mcdonald/statspearman.html |date=20120330172958 }}: Simple notes for students with an example of usage by biologists and a spreadsheet for [[Microsoft Excel]] for calculating it (a part of materials for a ''Research Methods in Biology'' course).

{{Statistics|descriptive}}

[[Category:协方差与相关性]]
[[Category:统计检验]]