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{{noteTA
|T=zh:斯特林数;zh-hans:斯特林数;zh-hant:斯特林數;zh-cn:斯特林数;zh-tw:史特靈數;
|G4=People
}}
在數學中，'''史特靈數'''用於解決各種[[數學分析]]和[[組合數學]]問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由{{Link-en|詹姆士·史特靈 (數學家)|James Stirling (mathematician)|詹姆士·史特靈}}引入並以其命名，以'''{{en-link|第一類史特靈數|Stirling numbers of the first kind}}'''和'''{{en-link|第二類史特靈數|Stirling numbers of the second kind}}'''的稱呼區分。此外，有時候也將'''{{en-link|拉赫數|Lah number}}'''稱爲第三類史特靈數<ref>{{cite book |last1=Sándor |first1=Jozsef |last2=Crstici |first2=Borislav |year=2004 |title=Handbook of Number Theory II  |isbn=9781402025464 |publisher=Kluwer Academic Publishers|page=464 }}</ref>。

== 第一類史特靈數 ==
=== 定義 ===
'''{{en-link|第一類史特靈數|Stirling numbers of the first kind}}'''可以定義爲對應[[遞進階乘與遞降階乘|遞降階乘]]展開式的各項係數，即
<math display='block'>(x)_n=\sum^{n}_{k=0}s(n,k)x^k\,</math>
其中，<math>s(n,k)\,</math>（<math>0\leq k\leq n\,</math>）即爲第一類史特靈數。例如：
:<math display='block'>(x)_3=x(x-1)(x-2)\,</math>
則
:<math display='block'>(x)_3=0\cdot x^0+2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3\,</math>
於是<math>s(3,0)=0\,</math>，
<math>s(3,1)=2\,</math>，
<math>s(3,2)=-3\,</math>，
<math>s(3,3)=1\,</math>。

由此可知，<math>s(n,k)\,</math>是[[代數數]]，或稱爲有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。

有符號史特靈數的絕對值<math>|s(n,k)|\,</math>可以看作（或直接定義爲）把<math>n\,</math>個元素排列成<math>k\,</math>個非空圓圈（循環排列）的方法數目。所以<math>|s(n,k)|\,</math>是[[代數數|算術數]]，或稱爲無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記爲<math>c(n,k)\,</math>或<math>\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,</math>。例如：把<math>1\,</math>，<math>2\,</math>，<math>3\,</math>三個數排列成<math>0\,</math>個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成<math>1\,</math>個非空圓圈，有<math>\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 2 & & 3\end{matrix}\right)\,</math>，<math>\left(\begin{matrix} & 1 & \\ 3 & & 2\end{matrix}\right)\,</math>兩種方法；排列成<math>2\,</math>個非空圓圈，有<math>\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,</math><math>\left(\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right)\,</math>，<math>\left(\begin{matrix}1 & 2\end{matrix}\right)\,</math><math>\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,</math>和<math>\left(\begin{matrix}1 & 3\end{matrix}\right)\,</math><math>\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,</math>三種方法；排列成<math>3\,</math>個非空圓圈，有<math>\left(\begin{matrix}1\end{matrix}\right)\,</math><math>\left(\begin{matrix}2\end{matrix}\right)\,</math><math>\left(\begin{matrix}3\end{matrix}\right)\,</math>一種方法，所以<math>\left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,</math><math>\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]=2\,</math>，<math>\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]=3\,</math>，<math>\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]=1\,</math>。可以看到這和前面有符號史特靈數<math>s(n,k)\,</math>在<math>n=3\,</math>時的結果一致（只是符號差異）。

與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義爲對應[[遞進階乘與遞降階乘|遞進階乘]]展開式的各項係數，即
:<math display='block'>(x)^{\overline n}=\sum^{n}_{k=0}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]x^k\,</math>
其中，<math>\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,</math>（<math>0\leq k\leq n\,</math>）即爲無符號史特靈數。不過要注意，這裏的記號<math>\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,</math>有時候會用來表示[[高斯二项式系数]]。

有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係：
:<math display='block'>s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,</math>

=== 拓展示例 ===

無符號史特靈數有更多的應用。例如，將<math>n\,</math>個元素分成<math>k\,</math>組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數<math>\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,</math>求得。以<math>\left[\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right]=11\,</math>爲例：

# (A,B)(C,D)
# (A,C)(B,D)
# (A,D)(B,C)
# (A)(B,C,D)
# (A)(B,D,C)
# (B)(A,C,D)
# (B)(A,D,C)
# (C)(A,B,D)
# (C)(A,D,B)
# (D)(A,B,C)
# (D)(A,C,B)

或用[[有向圖]]{{來源請求|reason=有向圖是誰的或哪本書上的術語？|date=2019年6月6日}}表示如下：
[[File:Stirling first four two.png|frame|s(4,2)=11]]

=== 遞推關係式 ===

無符號史特靈數有如下[[遞推關係式]]：
:<math display='block'>\left[\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right]=n\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right]\,</math>
其中，<math>k>0</math>，且初始條件爲
<math>\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,</math>，<math>\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right]=0\,</math>（<math>n>0</math>）。

有符號史特靈數有如下遞推關係式：
:<math display='block'>s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)</math>

=== 第一類史特靈數表 ===

下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以通過它們之間的關係式：
:<math display='block'>s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]\,</math>
求得。
{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
|-
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}&nbsp;|&nbsp;{{mvar|k}}}} 
! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 
|-
! 0 
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || 
|-
! 1 
| 0 || 1 ||  ||  ||  ||  || 
|-
! 2 
| 0 || 1 || 1 ||  ||  ||  || 
|-
! 3 
| 0 || 2 || 3 || 1 ||  ||  || 
|-
! 4 
| 0 || 6 || 11 || 6 || 1 ||  || 
|-
! 5 
| 0 || 24 || 50 || 35 || 10 || 1 || 
|-
! 6 
| 0 || 120 || 274 || 225 || 85 || 15 || 1
|}

=== 簡單性質 ===

觀察前面的“第一類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：

:<math>\left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=1\,</math>，<math>\left[\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right]=0\,</math>（<math>n>0\,</math>）。

如果<math>k>0\,</math>，我們有
:<math>\left[\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right]=0\,</math>；
或更一般地，如果<math>k>n\,</math>，我們有
:<math>\left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right]=0\,</math>。

還有
:<math>\left[\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right]=(n-1)!\,</math>，
:<math>\left[\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right]=1\,</math>，
:<math>\left[\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right]={n \choose 2}\,</math>，
:<math>\left[\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right]=\frac{1}{4}(3n-1){n \choose 3}\,</math>，
:<math>\left[\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,</math>。

注：這裏記號<math>{n \choose k}\,</math>表示[[組合數學|组合数]]。

=== 其他性質 ===

== 第二類史特靈數 ==

=== 定義 ===

'''{{en-link|第二類史特靈數|Stirling numbers of the second kind}}'''與第一類史特靈數類似，可以用[[遞進階乘與遞降階乘|遞降階乘]]定義爲
:<math display='block'>x^n=\sum^{n}_{k=0}\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}(x)_k\,</math>
其中，<math>\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,</math><ref>{{cite book|title=Transformation of Series by a Variant of Stirling's Numbers |publisher=Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69, #6 (June–July 1962) |page=530–532,|JSTOR=2311194.}}</ref><ref>{{cite book|editor=Antonio Salmeri|title=Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962)|page=pp. 44–54.}}</ref>即爲第二類史特靈數，也可以記爲<math>S(n,k)\,</math><ref>{{cite book|editor=Knuth, D.E. (1992)|title="Two notes on notation", Amer. Math. Monthly, 99|page= 403-422|arxiv=math/9205211|doi=10.2307/2325085|JSTOR=2325085}}</ref>。例如：
:<math display='block'>x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}(x)_0+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}(x)_1+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}(x)_2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}(x)_3\,</math>
即
:<math display='block'>x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}x+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}x(x-1)+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2)\,</math>
將遞降階乘展開並合併同類項，得
:<math display='block'>x^3=\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x+\left(\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}\right)x^2+\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}x^3\,</math>
比較等式兩邊係數，得
:<math display='block'>\begin{cases}\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}-\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}+2\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ 
\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}- 3\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=0 \\ \left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1 \end{cases}\,</math>
解得

<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,</math>。

第二類史特靈數計算的是將含有<math>n\,</math>個元素的集合拆分爲<math>k\,</math>個非空子集的方法數目<ref>{{cite book |editor=Brualdi,R.A.|translator=冯速等人|page=176页 |title=组合数学（原书第5版）|year=2012.4|location=北京|publisher=机械工业出版社|ISBN=978-7-111-37787-0}}</ref>。例如：對於集合<math>\left\{1,2,3\right\}\,</math>，若拆分爲<math>0\,</math>個非空子集，顯然有零種方法；拆分爲<math>1\,</math>個非空子集，只有<math>\left\{1,2,3\right\}\,</math>一種方法；拆分爲<math>2\,</math>個非空子集，有<math>\left\{1\right\}\,</math><math>\left\{2,3\right\}\,</math>，<math>\left\{1,2\right\}\,</math><math>\left\{3\right\}\,</math>，<math>\left\{2\right\}\,</math><math>\left\{1,3\right\}\,</math>三種方法；拆分爲<math>3\,</math>個非空子集，有<math>\left\{1\right\}\,</math><math>\left\{2\right\}\,</math><math>\left\{3\right\}\,</math>一種方法。於是<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right\}=1\,</math>。

第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算：<ref>{{Cite mathworld|urlname=StirlingNumberoftheSecondKind |title="Stirling Number of the Second Kind" |accessdate=2019-06-06 |archive-date=2019-06-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190606143426/http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html |dead-url=no }}</ref>
:<math display='block'> \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} =\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \left(\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right) (k-i)^n \,</math>

取<math>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,</math>進行驗算，有
:<math display='block'>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2!}\sum_{i=0}^{2}(-1)^i \left(\begin{matrix} 2 \\ i \end{matrix}\right) (2-i)^3 \,</math>
即
:<math display='block'>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}\right)\times 2^3 - \left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\times 1^3 + \left(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right)\times 0^3\right)\,</math>
於是
:<math display='block'>\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}\left( 1\times 8 - 2\times 1 + 1\times 0\right)=3\,</math>

=== 拓展示例 ===

將<math>n\,</math>個人分成<math>k\,</math>組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成<math>1\,</math>組，只能所有人在同一組，因此<math>\left\{\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,</math>；若所有人分成<math>4\,</math>組，只能每人獨立一組，因此<math>\left\{\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}\right\}=1\,</math>；若分成<math>2\,</math>組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即：

# {甲, 乙}{丙, 丁}
# {甲, 丙}{乙,丁}
# {甲, 丁}{乙, 丙}
# {甲}{乙, 丙, 丁}
# {乙}{甲, 丙, 丁}
# {丙}{甲, 乙, 丁}
# {丁}{甲, 乙, 丙}

因此<math>\left\{\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right\}=7\,</math>。同理，可以得到<math>\left\{\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}\right\}=6\,</math>。

=== 遞推關係式 ===

第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式：

:<math display='block'>\left\{\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}\right\}=k\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix}\right\}\,</math>
其中，<math>k>0</math>，且初始條件爲
<math>\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix}\right\}=0\,</math>（<math>n>0</math>）。

=== 第二類史特靈數表 ===

下面爲部分第二類史特靈數：

{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
|-
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}&nbsp;|&nbsp;{{mvar|k}}}} 
! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 
|-
! 0 
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || 
|-
! 1 
| 0 || 1 ||  ||  ||  ||  || 
|-
! 2 
| 0 || 1 || 1 ||  ||  ||  || 
|-
! 3 
| 0 || 1 || 3 || 1 ||  ||  || 
|-
! 4 
| 0 || 1 || 7 || 6 || 1 ||  || 
|-
! 5 
| 0 || 1 || 15 || 25 || 10 || 1 || 
|-
! 6 
| 0 || 1 || 31 || 90 || 65 || 15 || 1
|}

=== 簡單性質 ===

觀察前面的“第二類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：

:<math>\left\{\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right\}=1\,</math>，<math>\left\{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}\right\}=0\,</math>（<math>n>0\,</math>）。

如果<math>k>0\,</math>，我們有
:<math>\left\{\begin{matrix} 0 \\ k \end{matrix}\right\}=0\,</math>；
或更一般地，如果<math>k>n\,</math>，我們有
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=0\,</math>。

還有
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}\right\}=1\,</math>，
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}\right\}=2^{n-1}-1\,</math>，
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}\right\}=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,</math>，
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}\right\}=1\,</math>，
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix}\right\}={n \choose 2}\,</math>，
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,</math>，
:<math>\left\{\begin{matrix} n \\ n-3 \end{matrix}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,</math>。

=== 其他性質 ===

[[貝爾數]]和第二類史特靈數有如下關係：

:<math display='block'>B_n=\sum_{k=0}^n\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}\,</math>

== 兩類之間的關係 ==

第一類和第二類史特靈數可以看作互爲[[逆矩陣]]的關係：
:<math display='block'>\sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,</math>

以及

:<math display='block'>\sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}} {\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,</math>

其中，<math>\delta_{nk}\,</math>是[[克羅內克爾δ]]。

== 拉赫數 ==

=== 定義 ===

'''{{en-link|拉赫數|Lah number}}'''是由{{en-link|伊沃·拉赫|Ivo Lah}}在1954年發現的<ref>{{cite article | first=Ivo | last=Lah | title=A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics | journal=Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses | volume=9 | year=1954 | pages=7–15}}</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=zWgIPlds29UC John Riordan, ''Introduction to Combinatorial Analysis''] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=zWgIPlds29UC |date=20190815142801 }}, Princeton University Press (1958, reissue 1980) {{isbn|978-0-691-02365-6}} (reprinted again in 2002 by Dover Publications).</ref>，因爲拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱爲'''第三類史特靈數'''。可以用[[遞進階乘與遞降階乘|遞進階乘和遞降階乘]]定義爲

:<math display = 'block'>x^{(n)} = \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,</math>

或

:<math display = 'block'>(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} L(n,k) x^{(k)}\,</math>

其中， <math>L(n,k)\,</math>即爲拉赫數。例如：

:<math display = 'block'>x^{(3)}=\sum_{k=0}^3 L(3,k) (x)_k\,</math>

即

:<math>x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x-1) + L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,</math>

等式兩邊展開並合併同類項，得

:<math display='block'>0\cdot x^0 + 2\cdot x+3\cdot x^2+1\cdot x^3=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,</math>

比較等式兩邊係數，得

:<math display='block'>\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\ 
{L(3,2)-3L(3,3)=3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,</math>

解得
<math>L(3,0)=0\,</math>，<math>L(3,1)=6\,</math>，
<math>L(3,2)=6\,</math>，<math>L(3,3)=1\,</math>。

或

:<math display = 'block'>(x)_3=\sum_{k=0}^3 (-1)^{3-k} L(3,k) x^{(3)}\,</math>

即

:<math>x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1 + L(3,1)\cdot x + L(3,2)\cdot x(x+1) + L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,</math>

等式兩邊展開並合併同類項，得

:<math display='block'>0\cdot x^0 + 2\cdot x-3\cdot x^2+1\cdot x^3=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^2 +L(3,3)\cdot x^3\,</math>

比較等式兩邊係數，得

:<math display='block'>\begin{cases}{L(3,0)=0} \\ {L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2} \\ 
{-L(3,2)+3L(3,3)=-3} \\ {L(3,3)=1}\end{cases}\,</math>

解得
<math>L(3,0)=0\,</math>，<math>L(3,1)=6\,</math>，
<math>L(3,2)=6\,</math>，<math>L(3,3)=1\,</math>。

以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下：

:<math display = 'block'>x^{(n)} = (-1)^n \sum_{k=0}^n L(n,k) (x)_k\,</math>

或

:<math display = 'block'>(x)_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k L(n,k) x^{(k)}\,</math>

無符號拉赫數計算的是將含有<math>n\,</math>個元素的集合拆分爲<math>k\,</math>個非空線性有序子集的方法數目<ref>{{cite article | title=Combinatorial Interpretation of Unsigned Stirling and Lah Numbers | first1=Marko | last1=Petkovsek | first2=Tomaz | last2=Pisanski | journal=Pi Mu Epsilon Journal | volume=12 | number=7 | date = Fall 2007 | pages=417-424 | jstor=24340704}}</ref>。例如：對於集合<math>\left\{1,2,3\right\}\,</math>，若拆分爲<math>0\,</math>個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分爲<math>1\,</math>個非空線性有序子集，有<math>\left\{(1, 2, 3)\right\}\,</math>，<math>\left\{(1, 3, 2)\right\}\,</math>，<math>\left\{(2, 1, 3)\right\}\,</math>，<math>\left\{(2, 3, 1)\right\}\,</math>，<math>\left\{(3, 1, 2)\right\}\,</math>，<math>\left\{(3, 2, 1)\right\}\,</math>六種方法；拆分爲<math>2\,</math>個非空線性有序子集，有<math>\left\{(1)\right\}\,</math><math>\left\{(2, 3)\right\}\,</math>，<math>\left\{(1)\right\}\,</math><math>\left\{(3, 2)\right\}\,</math>，<math>\left\{(2)\right\}\,</math><math>\left\{(1, 3)\right\}\,</math>，<math>\left\{(2)\right\}\,</math><math>\left\{(3, 1)\right\}\,</math>，<math>\left\{(3)\right\}\,</math><math>\left\{(1, 2)\right\}\,</math>，<math>\left\{(3)\right\}\,</math><math>\left\{(2, 1)\right\}\,</math>六種方法；拆分爲<math>3\,</math>個非空線性有序子集，有<math>\left\{(1)\right\}\,</math>，<math>\left\{(2)\right\}\,</math>，<math>\left\{(3)\right\}\,</math>一種方法。於是<math>L(3,0)=0\,</math>，<math>L(3,1)=6\,</math>，
<math>L(3,2)=6\,</math>，<math>L(3,3)=1\,</math>。

無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：

:<math display='block'> L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,</math>

有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：

:<math display='block'> L'(n,k) = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}\,</math>

=== 拓展示例 ===

[[File:Lah numbers.svg|thumb|無符號拉赫數（''n''和''k''取1到4）]]

=== 遞推關係式 ===

無符號拉赫數有如下遞推關係：

:<math> L(n,k+1) = \frac{n-k}{k(k+1)} L(n,k)</math>

或

:<math> L(n+1,k) = (n+k) L(n,k) + L(n,k-1)\,</math>

其中，<math>L(n,0)=0\,</math>，<math>L(n,0)=0\,</math>，<math>L(n,k)=0\,</math>（<math>k>n\,</math>），<math>L(1,1)=1\,</math>

=== 拉赫數表 ===

下面爲部分無符號拉赫數：

{| class="wikitable" style="text-align:right;" 
|-
! {{diagonal split header|{{mvar|n}}&nbsp;|&nbsp;{{mvar|k}}}} 
! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 
|-
! 0 
| 1 ||  ||  ||  ||  ||  || 
|-
! 1 
| 0 || 1 ||  ||  ||  ||  || 
|-
! 2 
| 0 || 2 || 1 ||  ||  ||  || 
|-
! 3 
| 0 || 6 || 6 || 1 ||  ||  || 
|-
! 4 
| 0 || 24 || 36 || 12 || 1 ||  || 
|-
! 5 
| 0 || 120 || 240 || 120 || 20 || 1 || 
|-
! 6 
| 0 || 720 || 1800 || 1200 || 300 || 30 || 1
|}

=== 簡單性質 ===

觀察前面的“拉赫數表”，我們可以得到一些簡單性質：

<math>L(0,0)=1</math>，
<math>L(n,0)=0</math>（<math>n>0</math>）

如果<math>k>n</math>，有
<math>L(0,0)=1</math>，<math>L(n, k)=0</math>

還有
:<math> L(n,1) = n!</math>
:<math> L(n,2) = \frac{(n-1)n!}{2}</math>
:<math> L(n,3) = \frac{(n-2)(n-1)n!}{12}</math>
:<math> L(n,n-1) = n(n-1)</math>
:<math> L(n,n) = 1</math>
:<math>\sum_{n\geq k}L(n,k)\frac{x^n}{n!}= \frac{1}{k!}\left( \frac{x}{1-x} \right)^k</math>

=== 其他性質 ===

無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展：

:<math> L(n,k) = {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!} = {n \choose k} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} = {n \choose k} {n-1 \choose k-1} (n-k)!</math>

:<math> L(n,k) = \frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!}\cdot\frac{1}{(n-k)!} = \left (\frac{n!}{k!} \right )^2\frac{k}{n(n-k)!}</math>

無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係<ref>{{cite book | first=Louis | last=Comtet | title=Advanced Combinatorics | url=https://archive.org/details/Comtet_Louis_-_Advanced_Coatorics | publisher=Reidel | location=Dordrecht, Holland | year=1974 | page=[https://archive.org/details/Comtet_Louis_-_Advanced_Coatorics/page/n83 156]}}</ref>，關係如下：

:<math display='block'>L(n,k)=\sum_{j=0}^n \left[\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ k \end{matrix}\right\}\,</math>

取<math>L(3,2)\,</math>進行驗算，有

:<math display='block'>L(3,2)=\sum_{j=0}^3 \left[\begin{matrix} 3 \\ j \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} j \\ 2 \end{matrix}\right\}\,</math>

即

:<math display='block'>L(3,2)= \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}\,</math>

於是

:<math display='block'>L(3,2)=\left[\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\right\}+\left[\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right]\left\{\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}\right\}=3\times1+1\times3=6\,</math>

由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有

:<math display='block'>\sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,</math>

其中，<math>\delta_{nk}\,</math>是[[克羅內克爾δ]]。

== 三類之間的關係 ==

三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示：
:[[File:Stirling numbers as polynomial basis change.svg|400px]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:整数数列]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:置换]]