查看“︁斯梅爾悖論”︁的源代码

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[[File:MorinSurfaceFromTheTop.PNG|缩略图|一 Morin曲面的俯視圖]]
[[微分拓扑|差拓扑结构]]中，'''球面外翻'''（Sphere eversion）是指在[[三维空间]]中，將[[球面]]從內向外翻。值得注意的是，我們有辦法在不割開、撕裂或製造摺痕的前提下，連續且光滑地將球面由內向外翻（有可能產生{{link-en|自交|Self-intersection}}）。 這對非数学家甚至是瞭解{{link-en|定期同伦|Regular homotopy}}的人來說都十分意外，并可以被视为一种[[真詭論]]：乍看下是假，實際上為真。

更準確地说，令
: <math>f\colon S^2\to \R^3</math>
為标准[[嵌入 (数学)|嵌入]]，則有一个定期同伦的[[浸入]]

: <math>f_t\colon S^2\to \R^3</math>
使得''ƒ''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;''ƒ'' 且 ''ƒ''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;&#x2212;''ƒ。''

== 歷史 ==
無摺痕球面外翻的[[存在性證明]]是由[[史蒂芬·斯梅爾]]於1957年率先完成。雖然已經有一些電腦動畫幫助人們想像，但很難提供這種翻轉的動畫片。第一个展示性的例子經過數位数学家的努力才完成，包括[[弗拉基米爾·阿諾爾德]]和盲人數學家{{link-en|伯纳德·莫兰|Bernard Morin}}。另一方面，证明这样的「翻轉」存在容易多了，这就是斯梅尔證明的事。

剛開始斯梅尔的博士指導老師[[拉乌尔·博特]]告诉他這件事显然是错误的{{harv|Levy|1995}}。他的推論是，[[映射度]]的[[高斯映射]]必须保存在这种「翻轉」—特别地，這表示在'''R'''<sup>2</sup>沒有这种'''S'''<sup>1</sup>的翻轉。但在'''R'''<sup>3</sup>中， 嵌入''f'' 和 &#x2212;''f''對應的高斯映射 在 '''R'''<sup>3</sup> 都等于1，并且没有相反的符号作猜测。 所有 '''R'''<sup>3</sup> 中'''S'''<sup>2</sup>的浸入，它對應的高斯映射映射度都是1，所以没有問題。「真悖论」也许更适合用在这个级别：在斯梅尔的工作之前，没有任何嘗試論證或反正外翻 '''S'''<sup>2</sup>的紀錄，所以歷史上並沒有關於球面外翻的紀錄，只有第一次面對視覺化球面外翻的人，所留下對其精妙之處的讚揚。

進一步的一般化在{{link-en|同倫原理|Homotopy principle|h-原理}}。

==參考文獻==
* {{Citation | last1=Levy | first1=Silvio | title=Making waves | publisher=A K Peters Ltd. | location=Wellesley, MA | isbn=978-1-56881-049-2 | mr=1357900 | year=1995 | chapter=A brief history of sphere eversions | chapterurl=http://www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/history.html | accessdate=2017-06-03 | archive-date=2017-09-09 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170909131830/http://www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/history.html | dead-url=no }}

[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:数学悖论]]