查看“︁斯托克斯定理”︁的源代码

{{NoteTA|zh-tw:克耳文;zh-cn:开尔文|original=Kelvin|G1=Math}}
{{微積分學}}
{{distinguish|斯托克斯定律}}

'''斯托克斯定理'''（英文：Stokes' theorem），也被称作'''广义斯托克斯定理'''、'''斯托克斯–嘉当定理'''（Stokes–Cartan theorem）<ref>Jacques Pelletier and Michel Moisan.[https://www.springer.com/gp/book/9789400745575 Physics of Collisional Plasmas: Introduction to High-Frequency Discharges] {{Wayback|url=https://www.springer.com/gp/book/9789400745575 |date=20190403080317 }}.Springer.2012-11-22.</ref>、'''旋度定理'''（Curl Theorem）、'''开尔文-斯托克斯定理'''（Kelvin-Stokes theorem）<ref>[http://www.math.tau.ac.il/~tsirel/Courses/Analysis4-Fall2015/lect6.pdf Stokes' theorem] {{Wayback|url=http://www.math.tau.ac.il/~tsirel/Courses/Analysis4-Fall2015/lect6.pdf |date=20201219044150 }}.Tel Aviv University.2015-06-16.</ref>，是[[微分几何]]中关于[[微分形式]]的[[积分]]的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了[[向量分析]]的几个[[定理]]，以[[乔治·加布里埃尔·斯托克斯]][[爵士]]命名<ref>Peter Lynch.[https://www.irishtimes.com/news/science/george-stokes-sligo-man-who-made-profound-contributions-to-science-1.3969866 George Stokes: Sligo man who made profound contributions to science] {{Wayback|url=https://www.irishtimes.com/news/science/george-stokes-sligo-man-who-made-profound-contributions-to-science-1.3969866 |date=20210115213441 }}.The Irish Times.Aug 8, 2019.</ref>。

==ℝ³ 上的斯托克斯公式==
===旋度定理===
[[Image:Teorema_Stokes.svg|thumb|right|对开尔文-斯托克斯定理的诠释，面{{math|S}}，它的边界{{math|∂S}}，和法线向量<math>\mathrm d \mathbf S</math>。]]
[[File:SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg|right|thumb|250px|旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面；旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。]]
设<math>S</math>是分片光滑的有向曲面，<math>S</math>的边界为有向闭曲线<math>\varGamma</math>，即<math>\varGamma=\partial S</math>，且<math>\varGamma</math>的正向与<math>S</math>的侧符合[[右手定則|右手规则]]：
函数<math>P(x,y,z)</math>、<math>Q(x,y,z)</math>、<math>R(x,y,z)</math>都是定义在“曲面<math>S</math>连同其边界<math>\varGamma</math>”上且都具有一阶连续[[偏导数]]的函数，则有：<ref>同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007</ref>
: <math>\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z
+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x
+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>

: <math>=\oint_{\varGamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z</math>

引进符号[[行列式]]，这个公式也可以写成以下形式：
:<math>\iint_{S}\begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\mathrm{d}S=\oint_{\Gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z</math>
这个公式叫做 '''{{Unicode|ℝ³}} 上的斯托克斯公式'''或'''开尔文－斯托克斯定理'''、'''旋度定理'''。這和函數的[[旋度]]有關，用[[梯度]]算符可寫成：<ref>谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:矢量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005</ref>

: <math> \iint_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}</math>

它将ℝ³ 空间上“[[向量场]]的[[旋度]]的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是[[#流形上的斯托克斯公式|一般的斯托克斯公式]]（在 {{Unicode|''n''&#x003D;2}} 时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的[[点积|內積]]把向量场看作等价的1-形式。该定理的第一个已知的书面形式由[[威廉·汤姆森]]（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。

===散度定理===
{{main|高斯散度定理}}
类似的，[[高斯散度定理]]
:<math>\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \; \mathrm{d}V = \int_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math>
也是[[#流形上的斯托克斯公式|广义斯托克斯定理]]的一个特例，如果我们把右邊的 <math>\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math> 看成是等价的(''n''-1)-形式，可以通过和体积形式的内积实现。
[[微积分基本定理]]和[[格林定理]]也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

==流形上的斯托克斯公式==
令 {{Unicode|''M''}} 为一个可定向分段光滑 {{Unicode|''n''}} 维[[流形]]，令 {{Unicode|ω}} 为 {{Unicode|''M''}} 上的 {{Unicode|''n''−1}} 阶 {{Unicode|C<sup>1</sup>}} 类[[紧支撑]][[微分形式]]。如果 {{Unicode|∂''M''}} 表示 {{Unicode|''M''}} 的[[边界]]，并以 {{Unicode|''M''}} 的方向诱导的方向为边界的方向，则

:<math>\int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega (= \oint_{\partial M} \omega).\!\,</math>

这里 {{Unicode|''dω''}} 是 {{Unicode|''ω''}} 的[[外微分]], 只用流形的结构定义。这个公式被称为'''广义斯托克斯公式'''（{{Lang|en|generalized Stokes' formula}}），它被认为是[[微积分基本定理]]、[[格林公式]]、[[高斯散度定理|高－奥公式]]、[[#.E2.84.9D.C2.B3.E2.80.89.E4.B8.8A.E7.9A.84.E6.96.AF.E6.89.98.E5.85.8B.E6.96.AF.E5.85.AC.E5.BC.8F|{{Unicode|ℝ³}} 上的斯托克斯公式]]的推广；后者实际上是前者的简单推论。

该定理经常用于 {{Unicode|''M''}} 是嵌入到某个定义了 {{Unicode|ω}} 的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以简单的推广到[[分段光滑]]的子流形的[[线性组合]]上。斯托克斯定理表明相差一个[[恰当形式]]的闭形式在相差一个[[边界]]的链上的积分相同。这就是[[同调群]]和[[德拉姆上同调]]可以配对的基础。

==应用==
斯托克斯公式可以在对坐标的[[曲线积分]]和对面积的[[面积积分]]之间相互转换，该公式是[[格林公式]]在[[三维空间]]的推广，后者表达了平面闭区域上的[[二重积分]]与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，前者则把曲面上的曲面积与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来<ref>Jacques Pelletier and Michel Moisan.[https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxuexia/lesson/10.7situokegongshi.htm §10.7  斯托克斯公式  环流量与旋度] {{Wayback|url=https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxuexia/lesson/10.7situokegongshi.htm |date=20201219044207 }}.[[山东理工大学]].2009-11-27.</ref>。

==参考文献==
<references/>

==延伸阅读==
{{commons category}}
* The General Stokes' Theorem.Pitman Advanced Pub. Program.1983.
* {{cite journal| last=Katz | first=Victor J. | title=The History of Stokes' Theorem | url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1979-05_52_3/page/146 | journal=Mathematics Magazine |date=May 1979 | volume=52 | number=3 | pages=146–156 | jstor=2690275 | doi=10.2307/2690275}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/LoomisL.H.SternbergS.AdvancedCalculusRevisedEditionJonesAndBartlett|title=Advanced Calculus|last2=Sternberg|first2=Shlomo|publisher=World Scientific|year=2014|location=Hackensack, New Jersey|pages=|author-link2=|last1=Loomis|first1=Lynn Harold|author1-link=}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/MadsenI.H.TornehaveJ.FromCalculusToCohomologyDeRhamCohomologyAndCharacteristicClasses1996|title=From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes|last2=Tornehave|first2=Jørgen|publisher=Cambridge University Press|year=1997|location=Cambridge, UK|pages=|last1=Madsen|first1=Ib|}}
* {{cite book|author-link=|last=Marsden|first=Jerrold E.|last2=Anthony|first2=Tromba|title=Vector Calculus|edition=5th|publisher=W.&nbsp;H. Freeman|date=2003}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/GraduateTextsInMathematics218LeeJ.M.IntroductionToSmoothManifoldsSpringer2012|title=Introduction to Smooth Manifolds|last=Lee|first=John|date=2003|publisher=Springer-Verlag|location=|pages=}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw–Hill|year=1976|location=New York, NY|pages=|authorlink=}}
* {{cite book |title=Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus |last1=Spivak|first1=Michael|title-link=|publisher=	Benjamin Cummings |year=1965|location=San Francisco |pages= |author1-link=}}
* {{cite book |first=James |last=Stewart |title=Calculus: Concepts and Contexts |url=https://books.google.com/books?id=Vou3MZu_7tcC&pg=PA960 |date=2009 |publisher=Cengage Learning |pages=960–967 |access-date=2020-05-10 |archive-date=2020-12-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201219044207/https://books.google.com/books?id=Vou3MZu_7tcC&pg=PA960 |dead-url=no }}
* {{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus: Early Transcendental Functions|edition=5th|publisher=Brooks/Cole|date=2003}}
* {{cite book|title=An Introduction to Manifolds|last1=Tu|first1=Loring W.|publisher=Springer|year=2011|edition=2nd|location=New York|pages=|author1-link=}}

[[Category:微分几何|S]]
[[Category:向量分析]]
[[Category:数学定理|S]]
[[Category:数学公式]]
[[Category:微分形式]]