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'''斯坦豪斯-莫澤表示法'''，又稱'''斯坦豪斯-莫澤記號'''、'''斯坦豪斯-莫澤多邊形記號'''、'''多邊形記號'''，為利用多邊形來表示[[大數]]的一種表示法。此表示法由{{Link-en|雨果·斯坦豪斯|Hugo Steinhaus}}發明，後來[[李奧·莫澤]]擴展了該表示法。

== 斯坦豪斯的多邊形記號 ==
'''斯坦豪斯多邊形記號'''的定義如下：
* [[File:Triangle-n.svg|18px|class=skin-invert]] = n<sup>n</sup>
* [[File:Square-n.svg|18px|class=skin-invert]] = 「''n''放進''n''個三角形中」
* [[File:Circle-n.svg|18px|class=skin-invert]] = 「''n''放進''n''個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數：
* [[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]被稱為'''Mega數'''。
* [[File:Circle-ten.svg|18px|class=skin-invert]]被稱為'''Megiston數'''。

== 莫澤的多邊形記號 ==
'''莫澤多邊形記號'''是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。
* [[File:Triangle-n.svg|18px|class=skin-invert]]、[[File:Square-n.svg|18px|class=skin-invert]]與斯坦豪斯的記號相同。
* [[File:Pentagon-n.svg|18px|class=skin-invert]] = 「''n''放進''n''個正方形中」（= [[File:Circle-n.svg|18px|class=skin-invert]]）
* 一般來說，「''n''放進''m''邊形中」=「''n''放進''n''個''m'' - 1邊形中」

而「2放進[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]邊形中」則被稱為'''莫澤數'''。

== 中括號表示法 ==
[[紐約大學]]的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號：
* 「''n''放進''p''邊形中」使用<math>n[p]\,</math>來表示。（請注意：在本條目中，<math>[n]</math>都是表示某個數字放進正<math>n</math>邊形中，並不是第<math>n</math>級的[[超運算]]，為了避免搞混，第<math>n</math>級的超運算在本條目中是使用<math>n-2</math>個向上的箭號表示，請見[[高德納箭號表示法]]）
* <math>[\ldots]</math>可以重複使用。例如，「『''n''放進''q''邊形中』放進''p''邊形中」可以表示為<math>(n[q])[p]\,</math>。
* 「''n''放進''k''個''p''邊形中」表示為<math>n[p]_k\,</math>。換句話說，<math>n[p]_k</math>可以定義為<math>n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k </math>。

多邊形記號可以使用這種表示法來定義：
* [[File:Triangle-n.svg|18px|class=skin-invert]] <math>= n[3] = n^n=n\uparrow\uparrow 2 \,</math>
* [[File:Square-n.svg|18px|class=skin-invert]] <math>= n[4] = n[3]_n \,</math>
* [[File:Pentagon-n.svg|18px|class=skin-invert]] <math>=\,</math> [[File:Circle-n.svg|18px|class=skin-invert]] <math> = n[5] = n[4]_n \,</math>
* 一般來說，<math>n[m] = n[m-1]_n = n \underbrace{[m-1][m-1]...[m-1]}_n \,</math>。
上面所使用的↑為[[高德納箭號表示法]]中的記號。

其他例子：
* [[File:Math n trip triangle.png|40px|class=skin-invert]] <math> = n[3]_4 </math>

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示：
* [[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]（Mega數）<math> = 2[5]</math>
* [[File:Circle-ten.svg|18px|class=skin-invert]]（Megiston數）<math> = 10[5]</math>
* 莫澤數 = <math>2[2[5]]</math>

== 一些例子的計算 ==
=== 簡單的例子 ===
* 2[3] = 2<sup>2</sup> = 4
* 2[4] = 2[3]<sub>2</sub> = 2[3][3] = 4[3] = 4<sup>4</sup> = 256

=== Mega數 ===
[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]] = 2[5]
: = 2[4]<sub>2</sub>
: = 2[4][4]
: = 256[4]
: = 256[3]<sub>256</sub>

256[3]<sub>''n''</sub>所代表的值如下（''n''從1開始）：
:<math>256[3]=256^{256}</math>
:<math>256[3]_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256} \uparrow\uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257</math>,
:<math>256[3]_3=256[3]_2[3]= 256[3]_2\uparrow\uparrow 2 = \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}=256^{ \left( 256^{257}\times 256^{256^{257}} \right) }=256^{256^{(257 + 256^{257})}} = (256 \uparrow) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right) </math>
這個數字可以「[[近似]]」如下：
:<math>256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257</math>
這個近似值跟<math>256[3]_3</math>實際上差了非常多倍：
:<math> 256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg  256^{256^{256^{257}}} </math>
通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。

類似地，
:<math>256[3]_4 \risingdotseq \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256^{256^{256^{257}}}} =  256^{ \left( 256^{256^{257}} \times 256^{256^{256^{257}}} \right) } = 256^{256^{(256^{257} + 256^{256^{257}})}} \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257</math>
:<math>256[3]_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257</math>
這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數：
:[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]] <math> = 256[3]_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257</math>
如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得：
: [[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]] <math> \risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257 </math>
實際上，
: [[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]] <math> \gg  (256 \uparrow) ^{256} 257 \gg 256\uparrow\uparrow 257 </math>
如果以10為底，則可表示成：
: [[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]] <math>\approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right) \approx(10\uparrow)^{256} \left( 6.19\times 10^{2} \right) \approx(10\uparrow)^{257} \left(2.79 \right)</math>
因此Mega數的範圍為：
:<math>10\uparrow\uparrow 257 < </math> [[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]] <math> < 10\uparrow\uparrow 258</math>

=== Megiston數 ===
[[File:Circle-ten.svg|18px|class=skin-invert]] = 10[5] = 10[4]<sub>10</sub> = (10[4]<sub>9</sub>)[4]

通過類似於Mega數近似值的近似方法，可得：
:<math>a[4]=a[3]_a\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)</math>
:<math>a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1</math> (*)
將a換成10，可得：
:<math>10[4]=10[3]_{10} \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11 </math>
:<math>10[4]_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11) </math>

下式為把開頭的10換成a，11換成b，後面的<math>10 \uparrow\uparrow 11</math>換成n之後的計算（其中a↑b = a<sup>b</sup>）：
:<math>
\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = (a\uparrow (a\uparrow\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = a\uparrow ((a\uparrow\uparrow (b-1)) \times (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
\end{align}
</math>

當a, b皆足夠大時：
:<math>a\uparrow\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)</math>
所以
:<math>(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) </math>
這是一個近似值。

此時重複上面的操作，直到n = 1為止：
:<math>
\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\
&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\
&\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b)
\end{align}
</math>

因此，當<math>n\gg  b</math>時
:<math>(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n</math> (**)
這是一個近似值。

使用(**)式，可得<math>10[4]_2</math>的近似值：
:<math>10[4]_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11) </math>
以下的近似值使用(*)和(**)式：
:<math>10[4]_3 = 10[4]_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11</math>
:<math>10[4]_4 = 10[4]_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11</math>
:<math>10[4]_5 = 10[4]_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11</math>

因此，
:<math>10[4]_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11</math>
所以Megiston數大致等於：
:[[File:Circle-ten.svg|18px|class=skin-invert]] <math> \risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11</math>
然而，實際上近似值遠小於真正的Megiston數：
:[[File:Circle-ten.svg|18px|class=skin-invert]] <math> \gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11</math>

=== 莫澤數 ===
莫澤數代表<math>2[</math>[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]<math>] = 2[2[5]]</math>。由於[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]是相當巨大的數字，[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]是非常巨大的，跟[[File:Circle-ten.svg|18px|class=skin-invert]]相比來說仍是微不足道的。

提姆·周在1998年證明了下式[http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/gmproof.htm] {{Wayback|url=http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/gmproof.htm |date=20190911104725 }}，可見莫澤數遠遠小於[[葛立恆數]]（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）：

<math> M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow ((3 \rightarrow 3 \rightarrow 5)\times 2 - 1)</math>

利用[[高德納箭號表示法]]來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於<math>3 \uparrow \uparrow \! \cdots \! \uparrow 3</math>（[[File:Circle-two.svg|18px|class=skin-invert]]-2個箭號）。

== 參見 ==
* [[高德納箭號表示法]]
* [[康威鏈式箭號表示法]]

== 外部連結 ==
* [http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm Susan Stepney's Big Numbers] {{Wayback|url=http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm |date=20100807083733 }}
* {{MathWorld|urlname=Steinhaus-MoserNotation|title=Steinhaus-Moser notation}}

{{大數}}
[[Category:數學表示法]]
[[Category:數學符號]]
[[Category:大數]]