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[[Image:Ramp function.svg|斜坡函数的圖|thumb|325px|right]]
'''斜坡函数'''是一個{{link-en|一元函數|Unary function|一元}}[[實函數]]，因此其圖形類似斜坡，故得其名，斜坡函数有許多不同的定義方式，例如「負值時為０，其他值的輸出等於輸入」。斜坡函数的斜率以及斜坡的位置也可以調整，此條目中的斜坡函数是單位斜坡函数（斜坡斜率為1，從0的位置開始）。

在[[机器学习]]中，常會稱斜坡函数為[[线性整流函数|ReLU]][[激活函数]]<ref name='brownlee'>{{cite web |last1=Brownlee |first1=Jason |title=A Gentle Introduction to the Rectified Linear Unit (ReLU) |url=https://machinelearningmastery.com/rectified-linear-activation-function-for-deep-learning-neural-networks/ |website=Machine Learning Mastery |access-date=8 April 2021 |date=8 January 2019 |archive-date=2024-07-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240705224104/https://machinelearningmastery.com/rectified-linear-activation-function-for-deep-learning-neural-networks/ |dead-url=no }}</ref><ref name="medium-relu">{{cite web |last1=Liu |first1=Danqing |title=A Practical Guide to ReLU |url=https://medium.com/@danqing/a-practical-guide-to-relu-b83ca804f1f7 |website=Medium |access-date=8 April 2021 |language=en |date=30 November 2017 |archive-date=2024-08-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240824091807/https://medium.com/@danqing/a-practical-guide-to-relu-b83ca804f1f7 |dead-url=no }}</ref>，或是[[线性整流函数]]，類似[[電子工程]]中的[[整流器|半波整流器]]。若用在[[統計學]]的[[似然函数]]，會稱為{{le|Tobit模型|tobit model}}。

斜坡函数在數學以及工程上有許多的應用，依使用的情境不同，也有不同的名稱。也有不少類似斜坡函数的函數。

== 定義 ==
斜坡函数（<math> R(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>）可以用許多的解析方式來定義。以下是一些定義：
:<math>R(x) := \begin{cases} x, & x \ge 0; \\ 0, & x<0 \end{cases} </math>
或
:<math>R(x) := \operatorname{max}(x,0) </math>
* [[单位阶跃函数]]乘以x：
: <math>R\left( x \right) := xH\left( x \right)</math>
* 单位阶跃函数和其本身的[[卷積]]：
: <math>R\left( x \right) := H\left( x \right) * H\left( x \right)</math>
* 单位阶跃函数的[[積分]]：
: <math>R(x) := \int_{-\infty}^{x} H(\xi)\,\mathrm{d}\xi</math>
* {{link-en|麦考利括弧|Macaulay brackets}}：
: <math>R(x) := \langle x\rangle</math>

== 解析性質 ==
=== 非零性質 ===

此函數在整個[[定義域]]中的值都是非負值，因此其[[絕對值]]都是其自身。

<math>\forall x \in \mathbb{R}: R(x) \geqslant 0 </math>

及

<math>\left| R \left( x \right) \right| = R\left( x \right)</math>

=== 導數 ===
斜坡函数的導數為[[单位阶跃函数]]

<math>R'(x) = H(x)\ \mathrm{if}\ x \ne 0</math>

=== 傅里叶变换 ===
斜坡函数的[[傅里叶变换]]如下

<center> <math> \mathcal{F}\left\{ R(x) \right\}(f) </math> <math> = </math> <math> \int_{-\infty}^{\infty}R(x) e^{-2\pi ifx}dx </math> <math> = </math> <math> \frac{i\delta '(f)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}f^{2}} </math> </center>

其中<math>\delta(x)</math>為[[狄拉克δ函数]]（在此公式中，有出現其[[微分]]項）

=== 拉普拉斯變換 ===
斜坡函数的[[傅里叶变换]]如下

<math>R(x)</math>單邊的[[拉普拉斯變換]]定義如下：

<center> <math> \mathcal{L}\left\{ R\left( x \right)\right\} (s) = \int_{0}^{\infty} e^{-sx}R(x)dx = \frac{1}{s^2}. </math> </center>

== 代數性質  ==
=== 迭代不變性 ===
斜坡函数的每個[[迭代函数]]都是其自身：<br>
<math> R \left( R \left( x \right) \right) = R \left( x \right) </math>. 
* 證明：<math> R(R(x)):= \frac{R(x)+|R(x)|}{2} = \frac{R(x)+R(x)}{2} </math> <math>=</math> <br> <math>=</math> <math> \frac{2R(x)}{2} = R(x) </math>.

此處應用到[[#非零性質|非零性質]]。

== 參考資料 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RampFunction.html Mathworld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/RampFunction.html |date=20200512143906 }}

[[Category:实分析]]
[[Category:特殊函数]]