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{{Otheruses|subject=數不同的集合|other=不同民族的记数传统|记数系统}}
在數學，'''數系'''指的是[[數]]的不同[[集合 (数学)|集合]]。

數系的例子包括：[[自然數]]、[[整數]]、[[有理數]]、[[無理數]]、[[复数 (数学)|複數]]等。

==數系的邏輯==
===自然數===
皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替[[自然數]]建立以下的定義：
# 自然數中有'''0'''。
# 每一個自然數都必須有下一個自然數，並以'''S(a)'''表示。
# 自然數0前沒有自然數。
# 不同的自然數的下一個自然數都不同，即a=b即代表S(a)=S(b)，相反亦成立。
# 若一個特性0擁有，而往後的自然數都擁有，這特性則視為自然數擁有。
根據[[皮亚诺公理]]這五個定義，所有自然數的特性皆可推斷。而數'''一'''則以1=S(0)表示。

數系皆擁有[[等價關係]]，即：
# 自反性：<math>\forall x \in A,~~(x, x) \in R</math>
# 对称性：<math>\forall x, y \in A,~~(x, y) \in R ~~ \implies ~~(y, x) \in R</math>
# 传递性：<math>\forall x, y, z \in A, ~~~((x, y) \in R \wedge (y, z) \in R)~~\implies~~(x, z) \in R</math>

定義下自然數可進行運算，以下為[[加法]]的定義：
: ''a'' + 0 = ''a''
: ''a'' + S(''b'') = S(''a'' + ''b'')
〔這暗示S(''a'') = S(''a'' + 0) = ''a'' + S(0) = ''a'' + 1，所以以下S(''x'')皆會寫成''x'' + 1〕

以下為[[乘法]]的定義：
: ''a'' × 0 = 0
: ''a'' × (''b'' + 1) = ''a'' × ''b'' + ''a''
〔''a'' × ''b''亦可寫成''a'' ‧ ''b''或是''ab''〕

以下為[[指數函數|指數]]的定義：
: ''a''<sup>0</sup> = 1
: ''a''<sup>''b'' + 1</sup> = ''a''<sup>''b''</sup> × ''a''
〔''a''<sup>''b''</sup>亦會寫成''a'' ^ ''b''或是''a'' ** ''b''，特別是當上標不可使用的時候〕

===整數===
自然數可以以下方式擴展成[[整數]]，每一個非零的自然數''a''，就會出現一個整數-''a''，而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函數亦可以S(-''a'') = - S(''a'' - 1)的法則擴展至整數。

加法將以以下方法定義：
*若''a''及''b''皆自然數，則-''a'' + -''b'' = -(''a'' + ''b'')。
*若''a''為整數，則''a'' + 0 = ''a''。
*若''b''為一非零整數，則''a'' + ''b'' = (''a'' - 1) + S(''b'')。

減法定義與加法相同，即''a'' - ''b'' = ''a'' + - ''b''。

乘法定義與自然數定義相同，但加入負負得正，負正得負的理念：
* 若''a''及''b''皆自然數，則''a'' × -''b'' = -''a'' × ''b'' = -(''ab'')
* 若''a''及''b''皆自然數，則-''a'' × -''b'' = ''a'' × ''b'' = ''ab''

===[[有理數]]===

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

由於任何一個整數或分數都可以化為十進製循環小數，反之，每一個十進製循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進製循環小數。

在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個，兩者似乎是「同樣多」的。但從[[高等數學]]裏的「[[測度論]]」的角度來理解的話，無理數的測度要大於有理數的測度，所以無理數要比有理數「多一些」。如：根據測度論，在閉區間[0,1]內，有理數的測度為0，而無理數的測度為1。所以，在閉區間[0,1]內，無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。

===[[無理數]]===

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。四种常见的无理数有无限不循环小数、含有π的数、开方开不尽的数、某些三角函数值。

判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数。

<big>常见的无理数类型有如下几种。</big>

1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e等。
2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。

【注】
# 两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍是有理数。
# 两个无理数的和、差、积、商可以是有理数，也可以是无理数。
* * # （1）无理数的和、差、积、商为有理数：如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。
* * # （2）无理数的和、差、积、商为无理数：π+e、π-e、πxe，π/e。

===[[多項式]]===
===[[代數數]]===
===[[實數]]===
若某[[複數 (數學)|複數]]a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。

===[[虛數]]===
若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。
此外，若a+bi中的a等於0,就為[[純虛數]]。

==備註==
==參考資料==
==參見==


{{數的系統}}

[[Category:数]]

[[en:Number system]]