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[[整除]]是[[数学]]中两[[自然数]]间一种[[关系 (数学)|关系]]。自然数甲可被自然数乙整除，是指乙是甲的[[因數]]，且甲是乙的[[整数]][[倍数]]，也就是甲[[除法|除]]以乙没有[[餘数]]。下面列出了[[十进制]]中判断整数除以另一整数的商为整数，且余数为零的一些规则。

==基本判别==
*0：所有非0的整數之倍數。
*±1：所有整數之因數。

==可于最后几位判别==

2和5都是10的因数，在十进制判別是否有<math>2^k</math>或<math>5^k</math>的因數只須'''取其最後k位，除以<math>2^k</math>或<math>5^k</math>，可除盡即是'''：

*±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
*±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如98989898985'''40'''→40/4＝10
*±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872
*±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50
*±10：看最後一位數為0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50
*±<math>2^n</math>：最後n位數可以被<math>2^n</math>除盡。
*±<math>5^n</math>：最後n位數可以被<math>5^n</math>除盡。
*±<math>10^n</math>：最後n位數字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：<br />
<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{2^k}</math><br />
<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{5^k}</math><br />
<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{10^k}</math><br />

甚至非十进制下也是一样。例如[[十二进制]]：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以<math>2^k</math>、<math>3^k</math>、<math>4^k</math>、<math>6^k</math>，所得余数与原数同余。

==可由各数位判别==
{{seealso|去九法}}
<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{3}</math>

<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{9}</math>

*±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
*±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我们现在是在[[十进制]]运算，而9＝10－1。对于任意<math>p</math>进制的非负整数除法，当除数是<math>p-1</math>时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。<br />证明：
# 如被除数为零，命题是[[平凡 (数学)|平凡]]。
# 在任何<math>p</math>进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成<math>d p^i</math>，其中<math>d</math>是最高位（第<math>i</math>位）数字、<math>1\le d \le p-1</math>，而<math>p^i</math>表示后面有<math>i</math>个零。（<math>p</math>进制逢<math>p</math>进一，<math>p</math>的<math>i</math>次方自然是1后面<math>i</math>个零。）
# 那么<math display="inline">d p^i=d p^{i-1} p</math>，除以<math display="inline">p-1</math>得<math display="inline">\frac{d p^{i-1} p}{p-1} = \frac{d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1}}{p-1}</math>，前项显然整除，故<math display="inline">d p^i = d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1} \equiv d p^{i-1} \pmod{p-1}</math>，推论得<math display="inline">d p^i \equiv d p^0 = d \pmod{p-1}</math>。<br />
# 而任何<math>p</math>进制正整数均可写成<math>\sum_{i=0}^n d_i p^i</math>的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和<math>\sum_{i=0}^n d_i</math>同余。[[证明完毕|证毕]]。

<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r \pmod{11}</math>

*±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0

*±7，±11，±13：设正整数<math>a=\sum_{r=0}^n 1000^r a_r</math>，<math>1001=7\times 11\times 13</math>，所以

:<math>a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{7},a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{13}</math>

若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。<ref>
{{cite book|author=闵嗣鹤 严士健|title=初等数论(第三版)|location=高等教育出版社|isbn=978-7-04-011874-2|pages=第51-52页}}</ref>

==合数判别==
若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。
*±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
*±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝<math>2^2</math>×3），如60

==连续割头法==
<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \pmod{k}</math>

*±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
*±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10a_1+100\sum_{r=2}^n 10^{r-2} a_r \pmod{k}</math>

*±23：将十位前的数字乘以15再与末兩位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23
*±31：将十位前的数字乘以7再与末兩位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62
*±37：将十位前的数字乘以11再与末兩位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0

==连续割尾法==
若<math>\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv 0 \pmod{k}</math>，且<math>10x \equiv 1 \pmod{k}</math>

則<math>a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv xa_0+\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv 0 \pmod{k}</math>

*±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相減，得出7的倍数即7的倍数。如154→7
*±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19

==2到31的整除规则总表==
{| class="wikitable"
! 整除数
! 整除规则
! 示例
|-
|id=2| '''[[2]]'''
| 末位是偶数（0、2、4、6、8）。
| 1294：末位4是偶数，能被2整除。
|-
|id=3 rowspan=2| '''[[3]]'''
| 计算各位之和，其结果能被3整除。
| 405：4＋0＋5＝9，636：6＋3＋6＝15，两者都能被3整除。<br>16兆4992億0585萬4376：1＋6＋4＋9＋9＋2＋0＋5＋8＋5＋4＋3＋7＋6＝69→6＋9＝15→1＋5＝6，能被3整除。
|-
| 分别统计1、4、7出现总数与2、5、8出现总数，两者之差能被3整除。
| 16兆4992億0585萬4376：数字1、4、7出现总数是4，数字2、5、8出现总数是4，4－4＝0，能被3整除。
|-
|id=4 rowspan=3| '''[[4]]'''
| 末两位能被4整除。
| 40832：末两位32，能被4整除。
|-
| 十位数为偶数时，个位数为0、4、8。<br>十位数为奇数时，个位数为2、6。
| 40832：十位数3是奇数，个位数为2，能被4整除。
|-
| 十位数乘2加个位数，其结果能被4整除。
| 40832：2×3＋2＝8，能被4整除。
|-
|id=5| '''[[5]]'''
| 末位是0、5。
| 495：末位是5，能被5整除。
|-
|id=6| '''[[6]]'''
| 能同时被2、3整除。
| 1458：1＋4＋5＋8＝18，能被3整除；末位数2是偶数，能被2整除，继而能被6整除。
|-
|id=7 rowspan=7| '''[[7]]'''
| 每三位分组，从右往左每组交替加减，其结果能被7整除。
| 136萬9851：851－369＋1＝483，能被7整除。
|-
| 从右往左每六位为一组，每组相加的结果能被7整除。
| 1649萬8888：16＋498888＝498904，能被7整除。
|-
| 个位数乘2，并从其余位中减去，其结果能被7整除。
| 483：48－3×2＝42，能被7整除。
|-
| 个位数乘5，加到其余位中，其结果能被7整除。
| 483：48＋3×5＝63，能被7整除。
|-
| 最高位乘3，与次高位相加，替换掉头两位，其能被7整除。
| 483：4×3＋8＝20，将20替换掉48；
203：2×3＋0＝6，将6替换掉20；63：6×3＋3＝21，能被7整除。
|-
| 末两位加其余位乘以2，其结果能被7整除。
| 48萬3595：4835×2＋95＝9765，97×2＋65＝259，2×2＋59＝63，能被7整除。
|-
| 从末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2（循环），相加的结果能被7整除。
| 48萬3595：4×（−2）＋8×（−3）＋3×（−1）＋5×2＋9×3＋5×1＝7，能被7整除。
|-
|id=8 rowspan=5| '''[[8]]'''
|style="border-bottom: hidden;"| 百位数是偶数时，末两位是个能被8整除的数字。
|style="border-bottom: hidden;"| 624：百位数6是偶数，末两位24，能被8整除。
|-
| 百位数是奇数时，末两位加4是个能被8整除的数字。
| 352：百位数3是奇数，末两位52＋4＝56，能被8整除。
|-
| 末位加其余位乘2，其结果能被8整除。
| 56：5×2＋6＝16，能被8整除。
|-
| 末三位能被8整除。
| 34152：末三位152能被8整除。
|-
| 百位乘4加十位乘2加个位，其结果能被8整除。
| 34152：1×4＋5×2＋2＝16，能被8整除。
|-
|id=9| '''[[9]]'''
| 计算各位之和，其结果能被9整除。
| 2880：2＋8＋8＋0＝18：1＋8＝9，能被9整除。
|-
|id=10| '''[[10]]'''
| 末位是0。
| 130：末位是0，能被10整除。
|-
|id=11 rowspan=6| '''[[11]]'''
| 从高位到低位交错加减，其结果能被11整除。
| 91萬8082：9－1＋8－0＋8－2＝22，能被11整除。
|-
| 从右往左每两位为一组，每组相加的结果能被11整除。
| 627：6＋27＝33，能被11整除。<br>50215：5＋02＋15＝22，能被11整除。
|-
| 末位被其余位减去，其结果能被11整除。
| 627：62－7＝55，能被11整除。
|-
| 将个位数加到百位中，其结果能被11整除。
| 627：62＋70＝132：13＋20＝33，能被11整除。
|-
| 该数为偶数位数时，首位减末位，加到其余位，其结果能被11整除。
| 91萬8082（六位数）：1808＋（9－2）＝1815，81＋1－5＝77，能被11整除。
|-
| 该数为奇数位数时，首位加末位，从其余位中减去，其结果能被11整除。
| 14179（五位数）：417－（1＋9）＝407，0－（4＋7）＝−11，能被11整除。
|-
|id=12 rowspan=2| '''[[12]]'''
| 能同时被3、4整除。
| 288：能同时被3、4整除，继而能被12整除。
|-
| 将末位从其余位乘2中减去，其结果能被12整除。
| 288：28×2－8＝48，能被12整除。
|-
|id=13 rowspan=5| '''[[13]]'''
| 每三位分组，从右往左每组交替加减，其结果能被13整除。
| 291萬1272：2－911＋272＝−637，能被13整除。
|-
| 从右往左每六位为一组，每组相加的结果能被13整除。
| 1億6148萬0059：161＋480059＝480220，能被13整除。
|-
| 末位乘4，加到其余位中，其结果能被13整除。
| 637：63＋7×4＝91，9＋1×4＝13，能被13整除。
|-
| 将末两位从其余位乘4中减去，其结果能被13整除。
| 923：9×4－23＝13，能被13整除。
|-
| 末位乘9，从其余位中减去，其结果能被13整除。
| 637：63－7×9＝0，能被13整除。
|-
|id=14 rowspan=2| '''[[14]]'''
| 能同时被2、7整除。
| 224：能同时被2、7整除，继而能被14整除。
|-
| 末两位与其余位乘2相加，其结果能被14整除。
| 364：3×2＋64＝70<br />1764：17×2＋64＝98，两者都能被14整除。
|-
|id=15| '''[[15]]'''
| 能同时被3、5整除。
| 390：能同时被3、5整除，继而能被15整除。
|-
|id=16 rowspan=4| '''[[16]]'''
|style="border-bottom: hidden;"| 千位数是偶数时，末三位能被16整除。
|style="border-bottom: hidden;"| 25萬4176：千位数4是偶数，末三位176，能被16整除。
|-
| 千位数是奇数时，末三位加8能被16整除。
| 3408：千位数3是奇数，末三位408＋8＝416，能被16整除。
|-
| 末两位与其余位乘4相加，其结果能被16整除。
| 176：1×4＋76＝80，

1168：11×4＋68＝112，两者都能被16整除。
|-
| 末四位能被16整除。
| 15萬7648：末四位7648能被16整除。
|-
|id=17 rowspan=3| '''[[17]]'''
| 末位乘5，从其余位中减去，其结果能被17整除。
| 221：22－1×5＝17，能被17整除。
|-
| 将末两位从其余位乘2中减去，其结果能被17整除。
| 4675：46×2－75＝17，能被17整除。
|-
| 从右往左每八位为一组，从右往左每组交替加减，其结果能被17整除。
| 1億1725萬0581：17250581－1＝17250580，能被17整除。
|-
|id=18| '''[[18]]'''
| 能同时被2、9整除。
| 342：能同时被2、9整除，继而能被18整除。
|-
|id=19 rowspan=3| '''[[19]]'''
| 末位乘2，加到其余位中，其结果能被19整除。
| 437：43＋7×2＝57，能被19整除。
|-
| 末两位乘4，加到其余位中，其结果能被19整除。
| 6935：69＋35×4＝209，能被19整除。
|-
| 从右往左每九位为一组，从右往左每组交替加减，其结果能被19整除。
| 11億7225萬0581：172250581－1＝172250580，能被19整除。
|-
|id=20 rowspan=2| '''[[20]]'''
| 末位是0，次末位是偶数。
| 360：末位是0，次末位6是偶数，能被20整除。
|-
|末两位能被20整除。
| 480：末两位80，能被20整除。
|-
|id=21 rowspan=2|'''[[21]]'''
|末位乘2，从其余位中减去，其结果能被21整除。
|168：16－8×2＝0，能被21整除。
|-
|能同时被3、7整除。
|231：能同时被3、7整除，继而能被21整除。
|-
|id=22| '''[[22]]'''
|能同时被2、11整除。
|352：能同时被2、11整除，继而能被22整除。
|-
|id=23 rowspan=3| '''[[23]]'''
|末位乘7，加到其余位中，其结果能被23整除。
|3128：312＋8×7＝368，36＋8×7＝92，能被23整除。
|-
|末两位乘3，加到其余位中，其结果能被23整除。
|1725：17＋25×3＝92，能被23整除。
|-
|末三位乘2，与其余位相减，其结果能被23整除。
|13萬7931：931×2＝1862，1862－137＝1725，能被23整除。
|-
|id=24| '''[[24]]'''
|能同时被3、8整除。
|864：能同时被3、8整除，继而能被24整除。
|-
|id=25| '''[[25]]'''
|末两位是能被25整除的数（00、25、50、75）
|13萬4250：末两位50，能被25整除。
|-
|id=26| '''[[26]]'''
|能同时被2、13整除。
|156：能同时被2、13整除，继而能被26整除。
|-
| rowspan="3" id="27" |'''[[27]]'''
|每三位分组，各组相加，其结果能被27整除。
|264萬4272：2＋644＋272＝918，能被27整除。
|-
|末位乘8，从其余位中减去，其结果能被27整除。
|621：62－1×8＝54，能被27整除。
|-
|将末两位从其余位乘8中减去，其结果能被27整除。
|6507：65×8－7＝520－7＝513，能被27整除。
|-
|id=28| '''[[28]]'''
|能同时被4、7整除。
|140：能同时被4、7整除，继而能被28整除。
|-
| rowspan="3" id="29" | '''[[29]]'''
|末位乘3，加到其余位中，其结果能被29整除。
|493：49＋3×3＝58，能被29整除。
|-
|末两位乘9，加到其余位中，其结果能被29整除。
|5510：55＋10×9＝145，能被29整除。
|-
|末三位乘2，与其余位相减，其结果能被29整除。
|17萬3913：913×2＝1826，1826－173＝1653，能被29整除。
|-
|id=30| '''[[30]]'''
| 末位是0，次各位之和能被3整除。
|270：能同时被3、10整除，继而能被30整除。
|-
|id=31| '''[[31]]'''
| 末位乘3，从其余位中减去，其结果能被31整除。
| 341：34－1×3＝31，能被31整除。
|}

==参见==
*[[除法]]、[[短除法]]
*[[因数]]
*[[同余]]

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:除法|Z]]
[[Category:数学列表]]