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{{NoteTA|G1=Math}}
{{not|整数环}}
{{環論|交換}}
'''整环'''（Integral domain），又譯作'''整域'''，是[[抽象代數]]中的一个概念，指含乘法[[单位元]]的无[[零因子]]的'''交换环'''。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环<math>\{0\}</math>。整环是[[整数|整数环]]的抽象化，它很好地继承了整数环的[[整除]]性质，使得我们能够更好地研究整除理论。

整环也可以定义为理想<math>\{0\}</math>是素理想的交换环，或交换的无零因子环。

==形式定义==
设<math>\left( \mathcal{R}, + , \times \right)</math>是一个交换环，存在<math>e \in \mathcal{R}</math>，<math>e \neq 0</math>（0为加法单位元），使得
:<math>\forall a \in \mathcal{R}, a \times e = e \times a = a,</math>（存在乘法单位元）
并且对任意的<math>a , b \in \mathcal{R}</math>，如果<math>a \times b = 0</math>，那么或者<math>a = 0</math>，或者<math>b = 0</math>。用数学方式表示为：
:<math>\forall (a, b) \in \mathcal{R}^2,\  a\times b = 0 \quad \Rightarrow \quad (a=0\; \; \lor \; \; b=0) .</math>（没有零因子）
就称其为整环{{r|fresnel|page1=19}}。

定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的'''消去律'''替代：如果<math>a \times c = b \times c</math>，并且<math>c \neq 0</math>，那么<math>a = b</math>{{r|rotman|page1=119}}。用数学方法表示就是：
:<math>\forall (a, b, c) \in \mathcal{R}^3,\  (a \times c = b \times c \; \; \land \; \; c \neq 0 ) \quad \Rightarrow \quad a=b.</math>

==例子==
*整环的代表性例子是[[整数|整数环]]<math>\mathbb{Z}</math>。<math>(\mathbb{Z}, + , \times )</math>是一个交换环，并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后，两个整数相乘等于0，则必然有其中一个等于0。
*多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环<math>\mathbb{Z}[X]</math>和实系数二元多项式环<math>\mathbb{R}[X, Y]</math>。
*每个[[体 (数学)|域]]都是整环{{r|rotman|page1=122}}。相对的，每个[[阿廷环|阿廷整环]]都是域。特别地，每个有限的整环都是有限域。整数环<math>\mathbb{Z}</math>就是一个非阿廷整环不是域的例子，因为它有无穷递降的理想列：
:<math>\mathbb{Z}\;\supset\;2\mathbb{Z}\;\supset\;\ldots\;\supset\;2^n\mathbb{Z}\;\supset\;2^{n+1}\mathbb{Z}\;\supset\;\cdots</math>
*对每个整数<math>n>0</math>，<math>\mathbb{Z}+\sqrt{n}\mathbb{Z}</math>是实数域<math>\mathbb{R} </math>的子环，因此是整环。<math>\mathbb{Z}+i\sqrt{n}\mathbb{Z}</math>是复数域<math>\mathbb{C} </math>的子环，因此是整环。当<math>n=1</math>时，后者被称为[[高斯整数|高斯整数环]]。
*若<math>\mathcal{R}</math>是一个交换环，<math>P</math>是<math>\mathcal{R}</math>的一个理想，那么商环<math>^{\mathcal{R}} / _P </math>是整环当且仅当''P''是'''素理想'''。由此可推出<math>\mathcal{R}</math>是整环当且仅当<math>\{0\} = ^{\mathcal{R}} / _{\mathcal{R}} </math>是'''素理想'''。

==整除、素元、既约元==
在整环上可以定义类似于整数环里的'''整除'''性质。

''a''与''b''是''R''中的两个元素，定义''a''整除''b''或''a''是''b''的约数或''b''是''a''的'''倍数'''，当且仅当存在''R''中的一个元素''x''使得''ax'' = ''b''。

整除关系满足传递性，即''a''整除''b''，''b''整除''c''推出''a''整除''c''。''a''整除''b''，则''a''整除''b''的所有倍数。''a''的两个倍数的和与差仍是''a''的倍数。

1的约数称为''R''的'''[[可逆元]]'''。可逆元整除所有元素。

若''a''整除''b''并且''b''整除''a''，则称''a''与''b'''''相伴'''。''a''与''b''相伴当且仅当存在可逆元''u''使得''au'' = ''b''。

非可逆元''q''称为'''既约元'''，如果''q''不能写成两个非可逆元的乘积。 

如果''p''不是零元或可逆元，且对任意''a，b''，如果''p''整除''ab''可推出''p''整除''a''或''p''整除''b''，则称''p''为'''素元'''。

这两个定义是整数环中素数的推广。如果''p''是素元，那么''p''生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当''R''是[[唯一分解环]]才正确。

==参考资料==
{{reflist|
refs=
<ref name="fresnel">{{fr}}{{cite book|author=Jean Fresnel|title=Anneaux|publisher=Hermann|year=2001|isbn=2 7056 1447 8}}</ref>
<ref name="rotman">{{en}}{{cite book|author=Joseph J. Rotman|title=Advanced Modern Algebra|url=https://archive.org/details/advancedmodernal0114rotm|year=2010年8月|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-0821847411}}</ref> 
}}

{{ModernAlgebra}}

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