查看“︁整数”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
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'''整数'''（{{lang-en|integer}}）在電腦應用上也稱為'''[[整数_(计算机科学)|整型]]'''，是[[集合 (数学)|集合]]<math>\{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}</math>中所有的[[数]]的统称，包括[[负整数]]、[[0|零]]（0）与[[正整数]]。和[[自然數]]集合一樣，整數集合也是一個[[可數]]的[[無限集合]]。整数集合通常寫作[[粗體]]的<math>\mathbf{Z}</math>或<math>\mathbb{Z}</math>（源于[[德语]]单词''Zahlen''，意为“[[数]]”）。

在[[代數數論]]中，這些屬於[[有理數]]的一般[[整數]]會被稱為'''有理整數'''，用以和[[高斯整數]]等的概念加以區分。

== 正整数与负整数 ==
{{main|正整數|负整数}}
整數是一个[[集合 (数学)|集合]]，通常可以分为[[正整數]]、[[0|零]]（0）和[[負整數]]。'''正整數'''（符号：'''Z'''<sup>+</sup>或<math>\mathbb{Z}^{+}</math>）即[[大於]]0的整數，是[[正数]]与整数的[[交集]]。而'''負整數'''（符号：'''Z'''<sup>-</sup>或<math>\mathbb{Z}^{-}</math>）即[[小於]]0的整數，是[[负数]]与整数的交集。和整數一样，两者都是[[可數]]的[[無限集合]]。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为'''非負整數'''（符号：'''Z'''<sup>+</sup><sub>0</sub>或<math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>），而将0與負整數统称为'''非正整數'''（符号：'''Z'''<sup>-</sup><sub>0</sub>或<math>\mathbb{Z}^{-}_{0}</math>）。在[[数论]]中[[自然数]]<math>\mathbb{N}</math>通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在[[集合论]]和[[计算机科学]]中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

== [[代数]]性质 ==
下表给出任何整数<math>a, b, c</math>的[[加法]]和[[乘法]]的基本性质。
{| class="wikitable"
|-
! 性質 !! 加法 !! 乘法
|-
! [[封闭性]]
| <math>a + b</math>是整数 || <math>a \times b</math>是整数
|-
! [[结合律]]
| <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> || <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>
|-
! [[交换律]]
| <math>a + b = b + a</math> || <math>a \times b = b \times a</math>
|-
! 存在[[单位元]]
| <math>a + 0 = a</math> || <math>a \times 1 = a</math>
|-
! 存在[[逆元]]
| <math>a + (-a) = 0</math> || 在[[整数集]]中，只有[[1]]或[[-1]]对于[[乘法]]存在整数[[逆元]]，其余整数<math>a</math>关于乘法的[[逆元]]为<math>\frac{1}{a}</math>，都不为整数。
|-
! [[分配律]]
| colspan=2 align=center | <math>a \times (b + c) = a \times b + a \times c</math>
|}

全体'''整数'''关于[[加法]]和[[乘法]]形成一个环。[[环论]]中的[[整环]]、[[无零因子环]]和[[唯一分解域]]可以看作是整数的[[抽象化]]模型。

'''<math>\mathbb{Z}</math>'''是一个加法[[循环群]]，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是'''<math>\mathbb{Z}</math>'''仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与<math>(\mathbb{Z},+)</math>[[同构]]。

== 有序性质 ==
<math>\mathbb{Z}</math>是一个[[全序集]]，没有上界和下界，其序列如下：
:<math>\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots</math>

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

*若<math>a < b</math>且<math>c < d</math>，则<math>a + c < b + d</math>（加法）
*若<math>a < b</math>且<math>c > 0</math>，则<math>a \times c < b \times c</math>；若<math>c < 0</math>，则<math>a \times c > b \times c</math>（乘法）

整数环是一个[[欧几里德域]]。

== 電腦 ==
{{Main|整数 (计算机科学)}}

==整數集合的基數==
<math>\mathbb{Z}</math>的[[基数_(数学)|基數]]（或勢）是[[阿列夫数|ℵ]]<sub>0</sub>，與<math>\mathbb{N}</math>相同。這可以從'''<math>\mathbb{Z}</math>'''建立一[[雙射函數]]到'''<math>\mathbb{N}</math>'''來證明，亦即該函數要同時滿足[[單射]]及[[滿射]]的條件，例如：

:<math>f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}</math>

當該函數的[[定義域]]僅限於'''<math>\mathbb{Z}</math>'''，則證明'''<math>\mathbb{Z}</math>'''與'''<math>\mathbb{N}</math>'''可建立一一對應的關係，即兩集[[等勢]]。

== 参见 ==
* [[整數數列線上大全]]
* [[超整數]]

{{有理數}}
{{Fractions and ratios}}
{{數的系統}}
{{Authority control}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:初等数论]]
[[Category:代数数论]]
[[Category:整数]]
[[Category:阿贝尔群论]]
[[Category:环论]]