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'''整性'''是[[交換代數]]中的概念，用于描述在[[有理数]][[体 (数学)|域]]的某些[[域扩张|扩域]]中，某些元素是否有类似于[[整数]]的性质。元素的整性（是否为'''整元素'''）本质上只依赖于[[环 (代数)|環]]的概念。整性與環的'''整擴張'''推廣了[[代數數]]與[[代數擴張]]的概念。

==定義==
以下所論的環皆為含單位元的[[交換環]]。

設有環{{mvar|A}}、{{mvar|B}}，{{mvar|A}}為{{mvar|B}}的子環。设{{mvar|t}}∈{{mvar|B}}。若存在以{{mvar|A}}中元素为系数的首一[[多項式]]{{mvar|P}}∈{{mvar|A}}{{math|[''X'']}}，使得{{mvar|P}}{{math|(''t'') {{=}} }}0，則稱{{mvar|t}}是{{mvar|A}}上的整元素。如果{{mvar|B}}的每個元素都是{{mvar|A}}上的整元素，則稱{{mvar|B}}為{{mvar|A}}的整擴張。

==由有限性刻劃==
假設同上。環的乘法與加法運算賦予 <math>B</math> 自然的 <math>A</math>-模結構。對於一個元素 <math>b \in B</math>，下述條件彼此等價：
# <math>b</math> 在 <math>A</math> 為整。
# 子環 <math>A[b]</math>  是有限生成的 <math>A</math>-[[模]]。
# 存在包含 <math>A \cup \{b\}</math> 的子環 <math>C \subset B</math>，而且 <math>C</math> 是有限生成的 <math>A</math>-模。

此命題最常見的證明是利用關於[[行列式]]的[[凱萊-哈密頓定理]]。

==閉包性質==
{{further|整閉包}}

* （整閉包）利用有限性的刻劃，可知 <math>A</math> 上的整元構成 <math>B</math> 的子環，稱為 <math>A</math> 在 <math>B</math> 中的整閉包。
* （可遞性）考慮環擴張 <math>A \subset B \subset C</math>，若 <math>B</math> 是 <math>A</math> 的整擴張，而 <math>c \in C</math> 在 <math>B</math> 上為整，則它在 <math>A</math> 上為整。特別是：若 <math>B/A</math>、<math>C/B</math> 皆為整擴張，則 <math>C/A</math> 亦然。

==整同態==
在整性的定義中，子環條件 <math>A \subset B</math> 可以放寬為一個同態 <math>f: A \to B</math>，<math>b \in B</math> 在 <math>A</math> 上的整性定義為它對同態像 <math>f(A)</math> 的整性，整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 <math>f: A \to B</math>，同樣可賦予 <math>B</math> 一個 <math>A</math>-模結構，此時有限性判準依然成立。

==文獻==
* Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, ''Introduction to Commutative Algebra'', Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9

[[Category:交換代數|Z]]