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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
在[[数学哲学]]中，'''构成主义'''或'''构造主义'''认为要证明一个[[数学对象]]存在就必须把它构造出来。如果假设一个对象不存在，并从该假设推导出一个矛盾，对于构成主义者来说，不足以证明该对象存在。（[[构造性证明]]）

构成主义常常和[[直觉主义]]混淆，实际上，直觉主义只是构成主义的一种。直觉主义强调数学的基础建立在数学家们个人的直觉上，这样就把数学在本质上作为一种主观活动。构成主义不这样强调，并和对数学的客观看法保持一致。

== 构造主义数学 ==
构造主义者的数学使用[[构造性逻辑]]，该逻辑将[[真实性 (数学)|真实性]]和[[证明论|证明]]等同起来。要构造性的证明<math>P \lor Q</math>，我们必须证明<math>P</math>或<math>Q</math>，或两者同时成立。要构造式的证明<math>\exists_{x\in X} P(x)</math>，我们必须给出一个特定的<math>a\in X</math>和一个<math>P(a)</math>的证明。要构造式的证明<math>\forall_{x\in X} P(x)</math>，我们必须给出一个[[算法]]，它对于每个<math>a \in X</math>输出一个<math>P(a)</math>的证明。

构造主义同时拒绝采用[[无穷]]对象，例如无穷集合和序列。

=== 实分析中的例子 ===
在经典[[实分析]]中，[[实数构造]]的方法之一是把它作为[[有理数]]的[[柯西列]]对。这个构造在构造主义数学中不成立，因为序列是无穷的。

作为替换，我们把实数表示为一个算法<math>f</math>，它取一个正整数<math>n</math>然后输出一对有理数<math>(f_\ell(n), f_r(n))</math>使得

:<math>m \le n \implies f_\ell(m) \le f_\ell(n)</math>
:<math>m \le n \implies f_r(n) \le f_r(m)</math>
:<math>0 \le f_r(n) - f_\ell(n) \le {1\over n}</math>

使得当<math>n</math>增大，区间<math>[f_\ell(n), f_r(n)]</math>变小，而前<math>n</math>个这种区间的交不空。我们使用<math>f</math>来计算它所表示的实数的任何精度的有理数近似。

在这个定义下，实数<math>\sqrt{2}</math>可以用一个算法表示，它对于每个<math>0 \le i \le n</math>计算出最大的整数<math>a_i</math>使得<math>a_i^2 \le 2i^2</math>然后输出<math>\left(\mathrm{max}\left\{{a_i \over i}\right\}, \mathrm{min}\left\{{a_i+1 \over i}\right\}\right)</math>。

这个定义和采用柯西列的经典定义相关，除了要求序列是构造式的：也就是说，我们有个计算第<math>n</math>个序列中的元素的算法，所以有一个计算任意精确的对<math>\sqrt{2}</math>的有理数近似的算法。

注意构造性要求使得上述定义和通常非构造主义的实数定义不相容：因为每个算法<math>\xi</math>必须是一个有限指令集<math>\Sigma</math>上的有限序列，存在一个双射函数<math>f: \Sigma^* \rightarrow \mathbb N</math>。所以所有算法的集合和所有自然数的集合有同样的[[基数 (数学)|基数]]。当使用一个非构造式的定义时，[[对角论证法|康托对角线论证]]证明实数比自然数有更高的基数。

== 数学家们的态度 ==
传统上，数学家对于数学构造主义曾经持怀疑态度，如果不是完全反对的话，很大程度上这是因为它对构造分析的限制。

这些观点[[希尔伯特]]在1928年曾有强烈表示。他在《数学基础》（{{lang|de|Die Grundlagen der Mathematik}}）写道：“把排中律从数学家那里拿走，就像把望远镜从天文学家那里拿走，或是从拳击手那里把拳头拿走一样”
（[[排中律]]在[[构造性逻辑]]中不成立）。

{{tsl|en|Errett Bishop|Errett Bishop}}，在他1967年的著作《构造性分析学基础》（{{lang|en|Foundations of Constructive Analysis}}）中，作了很多驱散这种恐怖，他的办法是用构造性的框架中发展出大部分传统的分析学。

但是，並不是所有数学家都认为Bishop非常成功，因为他的书比经典分析教科书更复杂。

无论如何，多数数学家不认为应该把自己限制到构造主义方式，甚至当可以这样做的時候。<ref>{{Cite web |url=http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/ |title=Stanford Encyclopedia of Philosophy |accessdate=2005-07-14 |archive-date=2006-08-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060830010514/http://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/ |dead-url=no }}</ref>

== 对构成主义有贡献的数学家 ==
* [[克罗内克]]（Leopold Kronecker）
* [[L.E.J. Brouwer]]
* [[保罗·洛伦岑]]
* [[Errett Bishop]]

== 分支 ==
* [[构造性逻辑]]
* [[构造主义类型理论]]
* [[构造主义分析]]
* [[可计算性逻辑]]

==参见==
* [[数学直觉主义]]
* [[直觉主义类型理论]]
* [[有限主义]]
* [[博弈语义学]]
* [[构造性证明]]

==参考来源==

{{reflist}}
==外部链接==
* [https://web.archive.org/web/20110411024825/http://www.cis.upenn.edu/~giorgi/cl.html 可计算逻辑主页]

{{Authority control}}
[[Category:數學哲學]]