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'''数学形态学（Mathematical morphology）''' 是一门建立在[[格论]]和[[拓扑学]]基础之上的图像分析学科，是数学形态学[[图像处理]]的基本理论。其基本的运算包括：[[腐蚀 (形态学)|腐蚀]]和[[膨胀 (形态学)|膨胀]]、[[开运算 (形态学)|开运算]]和[[闭运算 (形态学)|闭运算]]、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。

==二值形态学==
在二值形态学中，一个图案被看做是 <math>n</math> 维[[欧几里得空间]] <math>\mathbb {R}^n</math> 或网格 <math>\mathbb {Z}^{n} </math>的[[子集]]。

===结构元素===
在二值结构学中，'''结构元素'''为一个二值影像，作为分析影像时使用的「探针」，代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。<ref name="Pierre Soille">Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)</ref>

以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作''B'')：

* 待处理影像为二维类比影像 <math>A\in E=\mathbb{R}^2</math>，使用的结构元素''B''为一以原点为圆心、半径为''r''的圆盘。
* 待处理影像为二维类比影像 <math>A\in E=\mathbb{R}^2</math>，使用的结构元素''B''为一以原点为中心的3x3方形。
* 待处理影像为二维类比影像 <math>A\in E=\mathbb{R}^2</math>，使用的结构元素''B''为一以原点为中心的十字形，或写作<math>B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}</math>。

===基础运算子===
二值形态学的基础运算子为具[[平移]]对称性的、与[[闵可夫斯基和]]直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀，以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。

====膨胀====
'''膨胀(Dilation)'''的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否''有''探测到物件？」一个影像''A''经过结构元素''B''膨胀後的结果可写为：<ref name="Pierre Soille"/>

::<math>A \oplus B = \{ x | B_x \cap A \ne \empty \}</math>.

其中<math>B_x = \{ x+b | b \in B \}</math>，代表结构元素平移x後的点集合，''b''是图像''B''的元素的坐标。

另外也可写为：

::<math>A \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_{-b}</math>.

同上，其中<math>A_{-b}</math>是指二值影像''A''经过平移''-b''後新的点集合。

====腐蚀====
'''腐蚀(Erosion)'''的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否''全都有''探测到物件？」一个影像''A''经过结构元素''B''腐蚀後的结果可写为：<ref name="Pierre Soille"/>

::<math>A \ominus B = \{ x | B_x \subseteq A \} = \bigcap_{b\in B} A_{-b}</math>.

====开运算、闭运算====
'''开运算(Opening)'''与'''闭运算(Closing)'''是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合：

开运算为先腐蚀再膨胀，
::<math>A \circ B  = (A \ominus B) \oplus B </math>.

闭运算为先膨胀再腐蚀
::<math>A \bullet B  = (A \oplus B) \ominus B </math>.

==基础运算子的性质==
* 所有的运算子具有{{link-en|平移对称性|Translational_symmetry}}
* 所有的运算子都是[[单调函数|递增]]的，例：如果 <math>A\subseteq C</math>，则 <math>A\oplus B \subseteq C\oplus B</math> 且 <math>A\ominus B \subseteq C\ominus B</math>
* 膨胀具有[[交換律|交换律]]，例：<math>A\oplus B = B\oplus A</math>
* 膨胀具有[[结合律]]，例：<math>(A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)</math>；另外腐蚀则为 <math>(A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)</math>
* 如果B包含原点(0,0)，则有 <math>A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B</math>
* 膨胀与腐蚀间的关系为：<math>A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}</math>，上标<math>^{c}</math>代表[[补集]]，上标<math>^{s}</math>代表对原点的[[点反演|点对称]]集合。
* 开运算与闭运算间的关系为：<math>A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}</math>
* 膨胀对[[并集|联集]]有[[分配律]]，例：<math>A\oplus (B\cup C) = (A\oplus B)\cup (A\oplus C)</math>；腐蚀对[[交集]]有分配律，例：<math>A\ominus (B\cap C) = (A\ominus B)\cap (A\ominus C)</math>
* 膨胀与腐蚀为彼此的[[广义逆阵|广义逆运算]]：<math>A\subseteq (C\ominus B)</math> 若且为若 <math>(A\oplus B)\subseteq C</math>
* 开运算与闭运算是[[冪等]]的：<math> (A\bullet B)\bullet B = A\bullet B</math>

==历史==
数学形态学诞生于1964年，由当时[[国立巴黎高等矿业学校]]的马瑟荣（G. Matheron）和赛拉（J. Serra）两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国[[枫丹白露]]数学形态学研究中心成立，巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。

20世纪数学形态学的发展过程可大致分为：
*60年代的孕育和形成期
*70年代的充实和发展期
*80年代的成熟和对外开放期
*90年代至今的扩展期

==參考資料==
{{reflist}}

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20050907034704/http://cmm.ensmp.fr/Recherche/pages/nav0b.htm 数学形态学的发展史（英文）]
*[http://www.cnblogs.com/slysky/archive/2011/10/16/2214015.htm 图像的膨胀与腐蚀、细化] {{Wayback|url=http://www.cnblogs.com/slysky/archive/2011/10/16/2214015.htm |date=20160304125611 }}

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[[Category:數位幾何學]]
[[Category:数学形态学]]