查看“︁效用最大化”︁的源代码

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|G1=Economics
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'''效用最大化問題'''，在[[經濟學]]中，特別是[[微觀經濟學]]中是指[[消費者 (經濟)|消費者]]所面對的這樣的問題，即“消費者應如何花費[[金錢]]使其[[效用]]極大化”。

哲學家[[杰里米·边沁|邊沁]]（Jeremy Bentham，1748-1832）提出快樂與痛苦是控制人類行為的力量，人類極力求取快樂而逃避痛苦，這正是功用最大化（maximization of utility）的心態。[[產權理論]]的先驅[[艾智仁]]（Armen Alchian 1914- ）認為功用的定義是對不同物品根據個人喜好作選擇的排列。功用（數字）的概念（The concept of utility）在經濟學上是指武斷（隨意而不作解釋）地作數以排列人們的喜好，數字越大，喜好越強烈（序數功用的概念Ordinal concept of utility）。

假设他们的[[消费集]]是有<math>L</math>种商品的集合<math>\mathbf{X}\subset \mathbb{R}^L_+</math> 。如果这<math>L</math>种商品的价格为
<math>\mathbf{p}\in \mathbb{R}^L_+</math> ，该消费者的财富为<math>w</math>, 则所有可以负担的组合的[[集合 (数学)|集合]]，即[[预算集]]为

:<math>B(\mathbf{p}, w) = \{\mathbf{x} \in \mathbf{X}| \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \leq w\}</math>。

消费者希望买到其所能负担的最好的商品组合，若该消费者的[[效用函数]]为

:<math>u : \mathbb{R}^L_+ \rightarrow \mathbb{R}</math> ， 

则该消费者的最优选择<math>\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)</math>为

:<math>\mathbf{x}^*(\mathbf{p}, w) = \arg\max_{\mathbf{x} \in B(\mathbf{p},w)} u(\mathbf{x})</math>。

求解<math>\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)</math>就是这个效用最大化问题。针对不同的效用函数，求得的解不必是唯一的。

==存在性==
* 如果效用函数<math>u</math>连续，并且价格<math>\mathbf{p}</math>为正，则<math>\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)</math>为非空。

'''证明'''：<math>B(\mathbf{p},w)\subset\mathbb{R}^L_+</math>是一个[[紧性空间]]，因此若<math>u</math>在此上是连续的，根据[[瓦爾拉斯定律]]，意味着存在一点<math>\mathbf{x}\in B(\mathbf{p}, w)</math>使得效用函数[[映射]]到其最大值。证毕。

如果消费者总是选取上面定义的最优组合，则<math>\mathbf{x}^*(\mathbf{p},w)</math>被称为是[[马歇尔需求对应]]。如果其只存在唯一组合使其最大化，则被称为是[[马歇尔需求函数]]。这个效用最大化问题中的[[效用函数]]和[[马歇尔需求]]之间的关系也反映了[[支出最小化]]问题中[[支出函数]]和{{link-en|Hicks需求函數|Hicksian demand function}}之间的关系。 

在实际中，消费者可能不总是选择最优的组合。譬如，这可能要求消费者思考太多的问题。[[有限理性]]是一种理论，它用[[满意解决法]]解释了这类行为——选取次优的、但是够好的组合。

==相关条目==
* [[效用函数]]
* [[支出最小化]]
* [[利润最大化]]
*[[拉格朗日乘数]]

==参考文献==
* Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, ''Microeconomic Theory''. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401
* 人的選擇和決定（計算決定法）

[[Category:微观经济学]]
[[Category:數學最佳化]]
[[Category:效用]]