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[[线性代数]]中，'''收敛矩阵'''是在求幂过程中收敛到[[零矩阵]]的矩阵。

==背景==
[[矩阵]]'''T'''的幂随次数增加而变小时（即'''T'''的所有项都趋近于0），'''T'''收敛到零矩阵。[[可逆矩阵]]'''A'''的[[矩阵分裂|正则分裂]]会产生收敛矩阵'''T'''。'''A'''的半收敛分裂会产生半收敛矩阵'''T'''。将'''T'''用于一般的[[迭代法]]，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的'''T'''则要初向量满足特定条件才收敛。

==定义==
''n''阶方阵'''T'''若满足

{{NumBlk|::|<math>\forall i=1,\ 2,\ \dots,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots,\ n,\  \lim_{k \to \infty}( \mathbf T^k)_{ij} = 0,</math>|{{EquationRef|1}}}}

则称'''T'''是是'''收敛矩阵'''。<ref name="未命名-20250106095556">{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=404}}</ref><ref>{{harvtxt|Isaacson|Keller|1994|p=14}}</ref><ref name="未命名_2-20250106095556">{{harvtxt|Varga|1962|p=13}}</ref>

==例子==
令
:<math>\begin{align}
& \mathbf{T} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\[4pt]
0 & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}.
\end{align}</math>
'''T'''的幂是
:<math>\begin{align}
& \mathbf{T}^2 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\[4pt]
0 & \frac{1}{16}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{T}^3 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{64} & \frac{3}{32} \\[4pt]
0 & \frac{1}{64}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{T}^4 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{256} & \frac{1}{32} \\[4pt]
0 & \frac{1}{256}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{T}^5 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{1024} & \frac{5}{512} \\[4pt]
0 & \frac{1}{1024}
\end{pmatrix},
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
\mathbf{T}^6 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{4096} & \frac{3}{1024} \\[4pt]
0 & \frac{1}{4096}
\end{pmatrix},
\end{align}</math>
综之，
:<math>\begin{align}
\mathbf{T}^k = \begin{pmatrix}
(\frac{1}{4})^k & \frac{k}{2^{2k - 1}} \\[4pt]
0 & (\frac{1}{4})^k
\end{pmatrix}.
\end{align}</math>
由于
:<math> \lim_{k \to \infty} \left( \frac{1}{4} \right)^k = 0 </math>
:<math> \lim_{k \to \infty} \frac{k}{2^{2k - 1}} = 0, </math>
'''T'''是收敛矩阵。注意其[[谱半径]]<math>\rho(\mathbf{T})=\frac14</math>，因为<math>\frac14</math>是'''T'''唯一的[[特征值]]。

==特征==
设'''T'''是''n''阶方阵，则下列表述等价于'''T'''的收敛矩阵：
#对某自然范数，<math> \lim_{k \to \infty} \| \mathbf T^k \| = 0</math>
#对所有自然范数，<math> \lim_{k \to \infty} \| \mathbf T^k \| = 0</math>
#<math> \rho( \mathbf T ) < 1 </math>
#<math>\forall \mathbb{x},\ \lim_{k \to \infty} \mathbf T^k \mathbf x = \mathbf 0</math><ref name="未命名-20250106095556"/><ref>{{harvtxt|Isaacson|Keller|1994|pp=14,63}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1960|p=122}}</ref><ref name="未命名_2-20250106095556"/>

==迭代法==
{{main|迭代法}}
一般的'''迭代法'''包含将线性方程组

{{NumBlk|::|<math> \mathbf{Ax} = \mathbf{b} </math>|{{EquationRef|2}}}}

转为等价方程组

{{NumBlk|::|<math> \mathbf{x} = \mathbf{Tx} + \mathbf{c} </math>|{{EquationRef|3}}}}

的过程。选定初向量<math>\mathbf{x}^{(0)}</math>，近似解向量序列的生成由

{{NumBlk|::|<math>\forall k\ge 0,\ \mathbf{x}^{(k + 1)} = \mathbf{Tx}^{(k)} + \mathbf{c} </math>|{{EquationRef|4}}}}<ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=406}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=61}}</ref>

对任意初向量<math>\mathbf{x}^{(0)}\in \R^n</math>，序列<math> \lbrace \mathbf{x}^{ \left( k \right) } \rbrace _{k = 0}^{\infty} </math>由({{EquationNote|4}})定义，<math>\forall k\ge 0,\ \mathbf{c}\neq 0</math>，当且仅当<math>\rho(\mathbf{T})<1</math>收敛于({{EquationNote|3}})的唯一解，即'''T'''是收敛矩阵。<ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=412}}</ref><ref>{{harvtxt|Isaacson|Keller|1994|pp=62–63}}</ref>
===正则分裂===
{{main|矩阵分裂}}
'''矩阵分裂'''是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对({{EquationNote|2}})所示的线性方程组，若'''A'''可逆，则'''A'''就可分裂为

{{NumBlk|::|<math> \mathbf{A} = \mathbf{B} - \mathbf{C} </math>|{{EquationRef|5}}}}

于是({{EquationNote|2}})可重写为({{EquationNote|4}})。当且仅当<math>\mathbf{B}^{-1}\ge\mathbf{0},\ \mathbf{C}\ge \mathbf{0}</math>时，({{EquationNote|5}})式是'''A的正则分裂'''；即<math>\mathbf{B}^{-1},\ \mathbf{C}</math>只有非负元素。若分裂({{EquationNote|5}})是'''A'''的正则分裂、且<math>\mathbf{A}^{-1}\ge\mathbf{0}</math>，则<math>\rho(\mathbf{T})<1</math>，'''T'''是收敛矩阵，迭代法({{EquationNote|4}})收敛。<ref>{{harvtxt|Varga|1960|pp=122–123}}</ref><ref>{{harvtxt|Varga|1962|p=89}}</ref>

==半收敛矩阵==
''n''阶方阵'''T'''，若极限

{{NumBlk|::|<math> \lim_{k \to \infty} \mathbf T^k </math>|{{EquationRef|6}}}}

存在，则称之为'''半收敛矩阵'''。<ref>{{harvtxt|Meyer & Plemmons|1977|p=699}}</ref>若'''A'''可能奇异，而({{EquationNote|2}})齐次，即'''b'''在'''A'''的范围内，则当且仅当'''T'''是半收敛矩阵时，对任何初向量<math>\mathbf{x}^{(0)}\in \R^n</math>，({{EquationNote|4}})定义的序列收敛到({{EquationNote|2}})的解。这时，分裂({{EquationNote|5}})称作'''A'''的'''半收敛分裂'''。<ref>{{harvtxt|Meyer & Plemmons|1977|p=700}}</ref>

==另见==
*[[高斯-赛德尔迭代]]
*[[雅可比法]]
*[[矩阵列表]]
*[[幂零矩阵]]
*[[逐次超松弛迭代法]]

==注释==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{citation | first1 = Richard L. | last1 = Burden | first2 = J. Douglas | last2 = Faires | year = 1993 | isbn = 0-534-93219-3 | title = Numerical Analysis | edition = 5th | publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd }}.
* {{ citation | first1 = Eugene | last1 = Isaacson | first2 = Herbert Bishop | last2 = Keller| year = 1994 | isbn = 0-486-68029-0 | title = Analysis of Numerical Methods | publisher = [[Dover Publications|Dover]] | location = New York }}.
* {{ cite journal | title = Convergent Powers of a Matrix with Applications to Iterative Methods for Singular Linear Systems |date=Sep 1977 | author1 = Carl D. Meyer, Jr. | author2 = R. J. Plemmons | journal = [[SIAM Journal on Numerical Analysis]] | volume = 14 | issue = 4 | pages = 699–705 | doi=10.1137/0714047 | ref = {{harvid|Meyer & Plemmons|1977}} }}
* {{ Cite book | first1 = Richard S. | last1 = Varga | chapter = Factorization and Normalized Iterative Methods | title = Boundary Problems in Differential Equations | url = https://archive.org/details/boundaryproblems0000lang | editor1-last = Langer | editor1-first = Rudolph E. | publisher = [[University of Wisconsin Press]] | location = Madison | pages = [https://archive.org/details/boundaryproblems0000lang/page/n134 121]&ndash;142 | year = 1960 | lccn = 60-60003 }}
* {{ citation | first1 = Richard S. | last1 = Varga | title = Matrix Iterative Analysis | publisher = [[Prentice–Hall]] | location = New Jersey | year = 1962 | lccn = 62-21277 }}.

{{Authority control}}

[[Category:极限]]
[[Category:矩阵]]
[[Category:数值线性代数]]