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{{NoteTA |G1=Math|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數}}
'''支撑集'''（{{Lang-en|support}}，简称'''支集'''），是一个[[数学]]概念，它是[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>的一个[[子集]]，要求对给定的<math>X</math>上定义的实值[[函数]]<math>f</math>在这个子集上恰好非0。最常见的情形是，<math>X</math>是一个[[拓扑空间]]，比如[[实数|实数轴]]等等，而函数<math>f</math>在此拓扑下连续。此时，<math>f</math>的支撑集被定义为这样一个[[闭集]]<math>C</math>：<math>f</math>在<math>X \backslash C</math>中为<math>{0}</math>，且不存在<math>C</math>的[[真子集|真]]闭子集也满足这个条件，即，<math>C</math>是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]。

特别地，在[[概率论]]中，一个[[概率分布]]是[[随机变量]]的所有可能值组成的集合的闭包。

==闭支撑==

常见的情况出现为：<math>X</math>是一个[[拓扑空间]]（例如实轴或n维[[欧几里得空间]]），并且<math>f : X \to \R</math>是[[连续函数|连续的]]实值函数（或复值函数）。此时，'''<math>f</math>'''的支撑在拓扑上定义为使得<math>f</math>非零的<math>X</math>子集的闭包<ref name="folland">{{cite book|last=Folland|first=Gerald B.|year=1999|title=Real Analysis, 2nd ed.|page=132|location=New York|publisher=John Wiley}}</ref><ref name="hormander">{{cite book|last=Hörmander|first=Lars|year=1990|title=Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.|page=14|location=Berlin|publisher=Springer-Verlag}}</ref><ref name="Pasc">{{cite book|last=Pascucci|first=Andrea|year=2011|title=PDE and Martingale Methods in Option Pricing|url=https://archive.org/details/pdemartingalemet0000pasc|page=[https://archive.org/details/pdemartingalemet0000pasc/page/678 678]|isbn=978-88-470-1780-1|doi=10.1007/978-88-470-1781-8|location=Berlin|publisher=Springer-Verlag|series=Bocconi & Springer Series}}</ref> ，即：

<math display="block">\operatorname{supp}(f) := \operatorname{cl}_X\left(\{x \in X \,:\, f(x) \neq 0 \}\right) = \overline{f^{-1}\left(\{ 0 \}^{c}\right)}.</math>

由于闭集的交集也是闭集，所以<math>\operatorname{supp}(f)</math>是集合论中所有包含<math>f</math>支撑的闭集的交集。

例如，<math>f : \R \to \R</math>定义如下：

<math display="block">f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{if } |x| < 1 \\ 0 & \text{if } |x| \geq 1 \end{cases}</math>

<math>f</math>的支撑是闭区间<math>[-1, 1]</math>，因为<math>f</math>在开区间<math>(-1, 1)</math>非零，其闭包为<math>[-1, 1]</math>。

闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 <math>f : X \to \R</math>（或 <math>f : X \to \Complex</math>不需要）连续。<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1987|title=Real and Complex Analysis, 3rd ed.|page=38|location=New York|publisher=McGraw-Hill}}</ref>

== 紧支撑 ==

如果某函数的支撑集是 <math>X</math> 中的一个[[紧集]]，此函数被称为是紧支撑於空间 <math>X</math> 的。例如，若 <math>X</math> 是实数轴，那么所有[[在无穷远处消失|在无穷远处消失的函数]]都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为<math>0</math>的一个特例。在[[病態 (數學)|好的情形]]下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是[[稠密集]]的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的 <math>\epsilon > 0</math>，一个定义在实数轴 <math>X</math> 上的函数 <math>f</math> 在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集 <math>C</math> 来描述：

:<math>|f(x) - 1_C(x)f(x)| < \epsilon</math> 

其中 <math>1_C(x)</math> 表示 <math>C</math> 的[[指示函数]]。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到[[分佈 (數學分析)|分布]]，比如[[狄拉克δ函数|狄拉克函数]]：定义在直线上的 <math>\delta(x)</math>。此时，我们考虑一个测试函数 <math>F</math>，并且 <math>F</math> 是光滑的，其支撑集不包括 <math>0</math>。由于 <math>\delta(F)</math> （即 <math>\delta</math> 作用于 <math>F</math>）为 <math>0</math>，所以我们说 <math>\delta</math> 的支撑集为 <math>\{0\}</math>。注意实数轴上的[[测度]]（包括[[概率测度]]）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。
== 奇支集 ==
在[[傅立叶分析]]的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，[[单位阶跃函数]]的[[傅立叶变换]]，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是<math>1/x</math>，但这在<math>x = 0</math>时是不成立的。所以很明显地，<math>x = 0</math>是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是<math>\{0\}</math>，即对于一个支撑集包括<math>0</math>的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个[[柯西主值]]意义下的[[瑕积分]]。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为[[波前集]]，从而可以利用[[数学分析]]来理解[[惠更斯原理]]。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（[[狄拉克δ函数|狄拉克函数]]的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

== 支撑族 ==

支撑族是一个抽象的拓扑概念，[[昂利·嘉当]]在一个[[层 (数学)|层]]中定义了这个概念。在将[[庞加莱对偶性]]推广到非紧的[[流形]]上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。<math>X</math>的一组闭子集<math>\Phi</math>是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的[[有限并]]也是闭的。它的''扩张''是<math>\Phi</math>的并。一个''仿紧化''(''paracompactifying'')的支撑族对于任何<math>Y \in \Phi</math>，在[[子空间拓扑]]意义下是一个[[仿紧空间]]，并且存在一些<math>Z \in Pi</math>是一个[[邻域]]。如果<math>X</math>是一个[[局部紧空间]]，并且是[[豪斯多夫空间]]，所有的[[紧子集]]组成的族满足上的条件，那么就是''仿紧化''的。
== 参考文献 ==

{{Reflist}}

[[Category:实分析|T]]
[[Category:拓扑学|T]]
[[Category:函数空间的拓扑|T]]