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在数学领域内，<math>\mathbb{R}^n</math>的一个非空的闭凸子集<math>A</math>的'''支撑函数'''<math>h_A</math>，描述了从<math>A</math>的支撑超平面（supporting hyperplane）到原点的距离。<math>h_A</math>是<math>\mathbb{R}^n</math>上的一个凸函数。任意一个非空的闭凸子集都可以由它的支撑函数唯一确定。进一步地，<math>h_A</math>作为集合<math>A</math>上的函数，与这个集合上许多几何变换是相容的，比如伸缩变换、平移变换、旋转变换以及[[闵可夫斯基和]]。因为具有这些性质，支撑函数是凸分析或凸几何中最基础与重要的概念。

== 定义 ==
<math>\mathbb{R}^n</math>的非空闭凸子集<math>A</math>的支撑函数是：

<math>h_A:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}:x \mapsto\sup\{x \cdot a :a \in A\}</math>，其中<math display="inline">x \in \mathbb{R}^n</math>

下面的性质并不要求集合''A''是闭且凸的：在<math>h_A(x)</math>有界时，集合<math>\{ u \in \mathbb{R}^n : u \cdot x \le h_A(x)\}</math>表示最小的包含''A''的闭的半空间（half-space）；进一步地，集合<math>\mathcal{H}_x = \{u \in \mathbb{R}^n : u \cdot x = h_A(x) \}</math>就是''A''的支撑超平面（supporting hyperplane）。<ref>{{Cite book|title = Convex Analysis and Monotone Operator Theory in HilBert Spaces|url = https://archive.org/details/convexanalysismo00baus|last = Bauschke|first = Heinz H|publisher = Springer|year = 2011|isbn = 978-1-4419-9466-0|location = Springer New York Dordrecht Heidelberg London|pages = [https://archive.org/details/convexanalysismo00baus/page/n126 109]|last2 = Combettes|first2 = Patrick L}}</ref>

原点到''A''的支撑超平面的距离<math>d_{\mathcal{H}_x}(0)</math>满足这样的关系：<math>d_{\mathcal{H}_x}(0) =  \frac{h_A(x)}{|x|}</math>。取''x ''的模为''1 ''就利用''A''的支撑函数描述了''A''的支撑超平面到原点的距离。

== 例子 ==
* 单点集的支撑函数：<math display="inline">A = \{a\}</math>，<math display="inline">h_A(x) = x \cdot a</math>
* 单位球的支撑函数：<math display="inline">B_1 = \{ x \in \mathbb{R}^n : |x| \le 1\}</math>，<math>h_{B_1}(x) = |x|</math>
* 取''A''为从''a''到''-a''的线段，则有：<math>h_A = |x \cdot a|</math>

== 引用 ==
{{reflist}}

[[Category:凸几何]]
[[Category:各类函数]]