查看“︁支出最小化”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Economics
|T=zh-hans:支出最小化;zh-hk:支出最小化;zh-tw:支出極小化;
|1=zh-hans:效用;zh-hk:功用;zh-tw:效用;
|2=zh-hans:希克斯;zh-tw:Hicks;
}}
'''支出最小化问题'''，在[[经济学]]，特别是[[微观经济学]]中是[[效用最大化问题]]的[[对偶问题]]，直观地说就是：“需要多少钱才能使我效用達到最大？” 给定[[效用函数]]，[[价格]]，和效用目标，这个问题可以分为两部分。

* 由[[支出函数]]決定消費者所需金額。
* 由{{link-en|Hicks需求函數|Hicksian demand function}}決定消费者如何在極小化其支出的情况下維持其效用不變。

==支出函数==
假设消费者有一个定义在<math>L</math>种商品<math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^L_+</math>上的效用函数<math>u</math>。则该消费者的支出函数给出在给定价格为<math>\mathbf{p}</math>的情况下购买一组商品<math>x</math>，使得得到的效用<math>u(x)\geq u^*</math>时所需钱的数额。
形式上，支出函数可以这样定义。

:<math>e(\mathbf{p}, u^*) = \min_{\mathbf{x} \in \geq(u^*)} \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}</math>

这里

:<math>\geq(u^*):= \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^L_+ | u(\mathbf{x}) \geq u^*\}</math>， 

表示所得效用至少等于<math>u^*</math>的组合的集合。

==希克斯需求函數==

'''希克斯需求函數''' <math>\mathbf{h}(\mathbf{p}, u^*)</math>定义一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义[[阿尔弗雷德·马歇尔|馬歇爾需求函數]]，

:<math>\mathbf{h}(\mathbf{p}, u^*) = \mathbf{x}(\mathbf{p}, e(\mathbf{p}, u^*))</math>。

如果马歇尔需求对应<math>\mathbf{x}(\mathbf{p}, w)</math>是一个总是给出唯一解的函数，则与之相对应的希克斯需求对应<math>\mathbf{h}(\mathbf{p},u^*)</math> 也可以被称为是'''希克斯需求函数'''。

==相关条目==
* [[效用最大化问题]]
*[[拉格朗日乘数]]

==参考文献==
* Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, ''Microeconomic Theory''. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401

[[Category:微观经济学]]
[[Category:數學最佳化]]