查看“︁摆线”︁的源代码

{{Expand language|1=en|time=2021-04-22T10:08:42+00:00}}
[[File:Cycloid f.gif|right|frame|一条由滚动的圆所生成的摆线]]
在[[数学]]中，'''摆线'''（Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是[[一般旋轮线]]的一种，亦称'''圆滚线'''。

摆线也是[[最速降线问题]]和[[等时降落问题]]的解。

== 历史 ==
摆线的研究最初开始于[[库萨的尼古拉]]，之后[[马兰·梅森]]也有针对摆线的研究。1599年[[伽利略]]为摆线命名。1634年{{link-en | 吉勒斯·德·罗贝瓦勒 | Gilles de Roberval}}指出摆线一拱的區域面积是滾動圆的面积的三倍。1658年[[克里斯多佛·雷恩]]也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的[[海伦 (神话)|海伦]]”（The Helen of Geometers）。<ref>{{Cite book | last1=卡乔里 | first1=弗洛里安 | author1-link=弗洛里安·卡乔里 | title=数学史 | publisher=切尔西 | location=纽约 | isbn=978-0821821022 | year=1999 | page=177 }}</ref>

== 方程式 ==
:[[File:Cycloid04.png|thumb|400px|由半径为2的圆所生成的摆线]]
过原点半径为r的摆线参数方程为
:<math>x = r(t - \sin t)\,</math>
:<math>y = r(1 - \cos t)\,</math>
在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。

通过替换解出t可以求的[[笛卡尔坐标系|笛卡尔坐标方程]]为
:<math>x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}</math>
也可寫成
:<math>\cos\!\left(\frac{|x|+\sqrt{y(2r-y)}}{r}\right) + \frac{y}{r} = 1</math>

摆线也满足下面的[[微分方程]]。
:<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.</math>

== 面积 ==
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：
:<math>x = r(t - \sin t),\,</math>
:<math>y = r(1 - \cos t),\,</math>
:<math>0 \le t \le 2 \pi.\,</math>
微分，
:<math>\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),</math>
于是可以求得
:<math>\begin{align}
A &= \int_{x=0}^{x=2 \pi r} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\
&= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\
&= 3 \pi r^2.
\end{align}</math>

== 弧长 ==
弧形的长度可以由下面的式子计算出：
:<math>\begin{align}
S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\
&= 8r.
\end{align}</math>

== 其它相关联的曲线 ==
一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短擺線（curtate cycloid）和長擺線（prolate cycloid），兩者合稱為[[次擺線]]（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到[[外摆线]]（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），[[内摆线]]（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及[[外旋轮线]]（epitrochoid）和[[内旋轮线]]（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

== 应用 ==
{{Expand section|date=2010年6月}}
[[File:Kimbell Art Museum.jpg|thumb|Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum]]
在建筑物的设计方面，摆线曾被[[路易·卡恩]]用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑{{link-en | 金贝尔艺术博物馆 | Kimbell Art Museum}}。
它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。

== 参考 ==
<references/>

* '''An application from physics''': Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a [[圆柱体|cylinder]] tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 {{Wayback|url=http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 |date=20191018160008 }}

* {{cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 445–47}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname=Cycloid | title=Cycloid}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml Cycloids] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml |date=20210208195033 }} at [[cut-the-knot]]
* [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves] {{Wayback|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 |date=20040531231724 }}, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by [http://historical.library.cornell.edu/math/index.html Cornell University Library] {{Wayback|url=http://historical.library.cornell.edu/math/index.html |date=20060127232450 }}.
* [https://web.archive.org/web/20091212011141/http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm Cicloides y trocoides]
* ''[http://demonstrations.wolfram.com/CycloidCurves/ Cycloid Curves] {{Wayback|url=http://demonstrations.wolfram.com/CycloidCurves/ |date=20201024182144 }}'' by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, [[Wolfram 演示项目|Wolfram Demonstrations Project]].

{{摆线}}

[[Category:曲线]]