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{{NoteTA|G1=物理學}}
在[[電磁學]]裏，'''推遲勢'''指的是，響應含時[[電荷]]分佈或含時[[電流]]分佈，而產生的推遲[[純量勢]]或推遲[[向量勢]]。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以[[光速]]從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

==理論概念==
[[File:Source_and_Destination02.jpg|thumb|250px|給予在源位置<math>\mathbf{r}'</math>的含時電荷分佈或含時電流分佈，計算在場位置<math>\mathbf{r}</math>產生的推遲勢。]]
對於靜態的電荷分佈和電流分佈，[[電勢]]<math>\Phi(\mathbf{r})</math>和[[磁向量勢]]<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})</math>分別定義為
:<math>\Phi(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>、

:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\  \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>；

其中，<math>\mathbf{r}</math>是場位置，<math>\mathbf{r}'</math>是源位置，<math>\epsilon_0</math>是[[真空電容率]]，<math>\mu_0</math>是[[真空磁導率]]，<math>\rho</math>是[[電荷密度]]，<math>\mathbf{J}</math>是[[電流密度]]，<math>\mathbb{V}'</math>是體積分的空間，<math>d^3\mathbf{r}'</math>是微小體元素。

在[[電動力學]]裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時[[電流]]分佈或含時[[電荷]]分佈。定義[[推遲時間]]<math>t_r</math>為檢驗時間<math>t</math>減去[[電磁波]]傳播的時間：
:<math>t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}</math>；

其中，<math>c</math>是光速。

假設，從源位置<math>\mathbf{r}'</math>往場位置<math>\mathbf{r}</math>發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間<math>t</math>抵達觀測者的場位置<math>\mathbf{r}</math>，則這束電磁波發射的時間是推遲時間<math>t_r</math>。由於[[電磁波]]傳播於[[真空]]的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間<math>t</math>，會不同於這電磁波發射的推遲時間<math>t_r</math>。

'''推遲純量勢'''<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>與'''推遲向量勢'''<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)</math>分別用方程式定義為
:<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>、
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\   \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>。

請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間<math>t_r</math>有關，而不是與時間無關。

這兩個含時方程式，是用推理得到的[[啟發式]]，而不是用任何[[定律]]或[[公理]]推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間<math>t</math>的推遲勢必定是由在推遲時間<math>t_r</math>的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足[[非齊次的電磁波方程|非齊次的電磁波方程式]]<ref name="Griffiths1998">{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 422-428 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>。還有，[[勞侖次規範]]是一個常用的規範，可以較便利地解析[[電磁輻射]]的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足[[勞侖次規範|勞侖次規範條件]]的證明。

==非齊次的電磁波方程式==
含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守[[达朗贝尔方程]]，表達為<ref name="KomechKomech2009">{{cite book|author1=Alexander Komech|author2=Andrew Komech|title=Principles of Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/principlesofpart0000kome|date=5 October 2009|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4419-1095-0}}</ref>{{rp|1}}
:<math>\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t)  - {1 \over c^2} {\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t)  \over \partial t^2} = - {\rho(\mathbf{r},\,t) \over \epsilon_0} </math>、
:<math>\nabla^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) \over \partial t^2} = - \mu_0 \mathbf{J}(\mathbf{r},\,t) </math>。

假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>和推遲向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)</math>不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。

設定<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}</math>為從源位置到場位置的分離向量：
:<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'</math>。

場位置<math>\mathbf{r}</math>、源位置<math>\mathbf{r}'</math>和時間<math>t</math>都是[[自變數]]（{{lang|en|independent variable}}）。分離向量<math>\boldsymbol{\mathfrak{R}}</math>和其大小<math>\mathfrak{R}</math>都是[[應變數]]（{{lang|en|dependent variable}}），跟場位置<math>\mathbf{r}</math>、源位置<math>\mathbf{r}'</math>有關。推遲時間<math>t_r=t - \mathfrak{R}/c</math>也是應變數，跟時間<math>t</math>、分離距離<math>\mathfrak{R}</math>有關。

推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>的[[梯度]]是
:<math>\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \nabla\left(\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\right)\, d^3\mathbf{r}'= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\frac{\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}+\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'</math>。

源電荷密度<math>\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)</math>的[[全微分]]是
:<math>\begin{align}
d\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}dt_r \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left(\frac{\partial t_r}{\partial t}dt+\frac{\partial t_r}{\partial \mathfrak{R}}d\mathfrak{R}\right) \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left(dt - \frac{1}{c}d\mathfrak{R}\right) \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left[dt - \frac{1}{c}(\nabla\mathfrak{R} \cdot d\mathbf{r})+\nabla'\mathfrak{R} \cdot d\mathbf{r}')\right] \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

注意到
:<math>\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}</math>、
:<math>\nabla \mathfrak{R}=\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}</math>。

所以，源電荷密度<math>\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)</math>的梯度是
:<math>\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}</math>；

其中，<math>\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)</math>定義為<math>\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t_r}</math>。

將這公式代入，推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>的梯度是
:<math>\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)   \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'</math>。

推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>的[[拉普拉斯算符]]是
:<math>\begin{align}
\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t) & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[
 - \frac{\nabla\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}}
 - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}}\right) - [\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)] \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)
 - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]
\, d^3\mathbf{r} \\
 & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[
 - \frac{\ddot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c^2 \mathfrak{R}}
 - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2}
 + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2}
 - 4\pi\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})\right]\, d^3\mathbf{r}' \\
 & = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}
\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}' \right]
 - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0} \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})</math>是三維[[狄拉克δ函數]]。

所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式
:<math>\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t)+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t^2}=  - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0}</math>。

類似地，可以證明推遲向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)</math>滿足非齊次的電磁波方程式。

==勞侖次規範條件==
給予[[磁場]]<math>\mathbf{B}</math>，並不是只有一個[[向量場]]<math>\mathbf{A}</math>滿足條件<math>\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}</math>。實際上，有無限多個解答。應用一項[[向量恆等式]]，<math>\nabla\times(\nabla \lambda)=0</math>，給予任意函數<math>\lambda</math>，那麼，<math>\mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\lambda</math>也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為[[規範自由]]。

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為
:<math>\nabla \cdot  \mathbf{A} +{1 \over c^2} {{\partial \Phi } \over {\partial t}}= 0 </math>。

按照前述方法，可以證明推遲純量勢<math>\Phi(\mathbf{r},\,t)</math>和推遲向量勢<math>\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)</math>滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

==廣義的含時電磁場==
{{main|傑斐緬柯方程式}}
推遲勢與[[電場]]<math>\mathbf{E}</math>、[[磁場]]<math>\mathbf{B}</math>的關係分別為
:<math>\mathbf{E}= - \nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math>、
:<math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>。

按照前述方法，可以得到電場<math>\mathbf{E}</math>和磁場<math>\mathbf{B}</math>的方程式，又稱為[[傑斐緬柯方程式]]<ref name="Griffiths1998" />：
:<math> \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\rho(\mathbf{r}',\,t_r)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}
+\frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c^2  |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right] d^3\mathbf{r}' </math>、

:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}
\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2}\right]\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ d^3\mathbf{r}' </math>。

==超前勢==
定義'''超前時間'''<math>t_a</math>為現在時間<math>t</math>加上光波傳播的時間：
:<math>t_a\ \stackrel{def}{=}\ t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}</math>。

'''超前純量勢'''<math>\Phi_a(\mathbf{r},\,t)</math>與'''超前向量勢 ''' <math>\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)</math>分別用方程式表達為
:<math>\Phi_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>、

:<math>\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math>。

這兩個方程式表明，在時間<math>t</math>的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間<math>t_a</math>的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢<math>\Phi_a(\mathbf{r},\,t)</math>與超前向量勢<math>\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)</math>也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了[[因果律]]。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。

==參閱==
*[[非齊次的電磁波方程|非齊次的電磁波方程式]]
*[[傑斐緬柯方程式]]
*[[黎納-維謝勢]]
*[[拉莫方程式]]
*[[阿布拉罕-勞侖茲力]]
*[[狹義相對論]]

==參考文獻==
{{reflist}}
{{电磁学}}
[[Category:勢|T]]
[[Category:電磁學|T]]