查看“︁推出 (范畴论)”︁的源代码

在[[范畴论]]中，一个[[数学]]领域， '''推出'''（也称为'''纤维餘积'''、'''纤维和'''、'''共合和'''或'''餘笛卡尔方块'''）是由具有公共[[定义域]]的两个[[态射]] ''f'' : ''Z'' → ''X'' 与 ''g'' : ''Z'' → ''Y'' 组成的[[图表 (范畴论)|图表]]的[[餘极限]]。

推出是[[拉回 (范畴论)|拉回]]的[[对偶 (范畴论)|范畴对偶]]。

== 泛性质 ==
明确地说，态射 ''f'' 与 ''g'' 的推出由一个对象 ''P'' 和两个态射 ''i''<sub>1</sub> : ''X'' → ''P'' 与 ''i''<sub>2</sub> : ''Y'' → ''P'' 组成，使得[[图表 (范畴论)|图表]][[交换图表|交换]]：

[[File:CategoricalPushout-01.png|center]]

并且，推出 (''P'', ''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>) 关于这个图表必须是[[泛性质|通用的]]。这就是说，任何其它这样的三元组 (''Q'', ''j''<sub>1</sub>, ''j''<sub>2</sub>)，一定存在一个惟一的 
''u'' : ''P'' → ''Q'' 使得如下图表交换：

[[File:CategoricalPushout-02.png|center|推出的泛性质]]

和所有泛构造一样，推出如果存在，则在差一个同构态射的意义下是惟一的。

== 例子 ==
这里有一些类似范畴中推出的例子。以下每种情形只构造推出同构类中的一个对象；如上所述，可能有其它构造方法，但是它们都是等价的。
# 假设 ''X'' 和 ''Y'' 是[[集合 (数学)|集合]]。如果记它们的[[交集|交]]为 ''Z''，则由包含给出态射 ''f''&nbsp;:&nbsp;''Z''&nbsp;→&nbsp;''X'' 与 ''g''&nbsp;:&nbsp;''Z''&nbsp;→&nbsp;''Y'' 。''f'' 与 ''g'' 的推出是 ''X'' 与 ''Y'' 的[[并集]]附加从''X'' 和 ''Y''的[[包含映射|包含态射]]。
# [[黏着空间]]的构造是[[拓扑空间范畴]]中的推出。更准确地说，如果 ''Z'' 是 ''Y'' 的[[子空间]]且 ''g'' : ''Z'' → ''Y'' 是[[包含映射]]，可以将 ''Y'' 利用“黏贴映射” ''f'' : ''Z'' →''X'' 沿着 ''Z'' “黏贴”到另一个空间 ''X''。黏贴空间 <math>X \cup_{f} Y</math> 恰好是 ''f'' 与 ''g'' 的推出。更一般地，所有黏着空间都可以这样视为推出。
# 上面的一个特例是[[楔和]]或一点并；这里取 ''X'' 与 ''Y'' 为[[带基点的空间]]而 ''Z'' 为 1 点空间。那么将 ''X'' 与 ''Y'' 的基点黏合起来得到的空间，便是推出 <math>X \vee Y</math>。
# 在[[阿贝尔群]]范畴中，推出可以想象为“黏合[[直和]]”，以这种方式将黏着空间视为“黏合[[不交并]]”。零群是任何群的子群，所以對任何阿贝尔群 ''A'' 与 ''B''，有同态 ''f'' : 0 → ''A'' 以及 ''g'' : 0 → ''B''。这两个映射的推出是 ''A'' 与 ''B'' 的直和。把这种情形推广为 ''f'' 与 ''g'' 是任何有公共定义域的同态，則得到直和的一个[[商群]]，即模去由 (''f(z)'',-''g(z)'') 组成的子群。从而将 ''Z'' 的通过 ''f'' 和 ''g'' 黏合起来了。一个类似的技巧得出任何 ''R''-[[模]]范畴中的同构。
# 在[[群范畴]]，推出称为{{le|共合自由积|free product with amalgamation}}。下面在代数拓扑的[[塞弗特－范坎彭定理|塞弗特－范坎彭（Seifert-van Kampen）定理]]中展示出来。

== 性质 ==
* 只要 ''A''∪<sub>''C''</sub>''B'' 和 ''B''∪<sub>''C''</sub>''A''存在，则存在同构态射''A''∪<sub>''C''</sub>''B'' ≅ ''B''∪<sub>''C''</sub>''A''。
* 只要推出 ''A''∪<sub>''A''</sub>''B'' 存在，则存在同构态射 ''B'' ≅ ''A''∪<sub>''A''</sub>''B'' （这由推出的泛性质得出）。

== 通过餘积和餘等化子构造 ==
上述所有例子都可以看成下面非常一般的构造的特例，这对只要[[餘积]]和[[餘等化子]]存在的任何范畴 ''C'' 都可行：
* 对任何 ''C'' 中的对象 ''A'' 和 ''B''，它们的餘积在 ''C'' 中存在；
* 对 ''C'' 中的任何具有相同定义域和靶的态射 ''j'' 与 ''k''，''j'' 与 ''k'' 的餘等化子在 ''C'' 中存在。

分两步，先构造靶 ''X'' 与 ''Y'' 的餘积。得到从 ''Z'' 到这个餘积的两个态射：从 ''Z'' 通过 ''f'' 到 ''X''，然后包含到餘积；或者从 ''Z'' 通过 ''g'' 到 ''Y''，再包含到餘积。''f'' 与 ''g'' 的推出便是这两个新态射的餘等化子。

== 应用：塞弗特－范坎彭定理 ==
回到拓扑，[[塞弗特－范坎彭定理]]回答了如下问题。假设我们有一个连通空间 ''X''，被两个连通开空间 ''A'' 与 ''B'' 覆盖，它们的交 ''D'' 也是连通的（假设基点 * 在 ''A'' 的交中）。如果知道 ''A'' , ''B'' 与 ''D'' 的[[基本群]]，我们可以求出 ''X'' 的基本群吗？答案是肯定的。

假设我们也知道包含同态 
<math>\pi_1(D,*) \to \pi_1(A,*)</math> 
与 
<math>\pi_1(D,*) \to \pi_1(B,*).</math> 
定理说空间 ''X'' 的基本群是这两个包含映射的推出。当然，''X'' 是 ''D'' 到 ''A'' 与 ''B'' 的两个包含映射的推出。从而我们可以将这个定理更深刻地理解为基本群[[函子]]保持包含推出的基本群。我们可能预计当 ''D'' 是[[单连通]]时最简单，因为两个上面同态的定义域都是平凡群。事实上确实如此，因为此时群的推出退化成[[自由积]]，即群范畴中的餘积。在更一般的情形我们可以说是带共合的自由积。

下面所列 J. P. May 的书中，在稍一般情形（[[覆盖空间|覆盖]][[群胚]]）给出了详细地说明。

== 参考文献 ==
{{refbegin}}
* [[J.P. May|May, J. P.]] ''A concise course in algebraic topology.'' University of Chicago Press, 1999. This book is an excellent introduction to the categorical way of thinking (for the topologically savvy).
{{refend}}

==參閲==
*[[前推 (微分)]]

== 外部链接 ==

* [https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interactive Web page ] 包含一些在有限集合范畴中的推出的例子。由 [https://web.archive.org/web/20081223001815/http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine] 著。

[[Category:范畴中的极限]]