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{{NoteTA
|G1=Physics
}}
{{熱力學}}
'''控制體積'''是[[流體力學]]及[[熱力學]]中，為一物理現象建立[[數學模型]]時會用到的一個名詞。在[[慣性參考系]]中，控制體積可能是一固定的區域，或者是隨著[[流體]]運動。控制體積的表面也稱為控制表面<ref>G.J. Van Wylen and R.E. Sonntag (1985), ''Fundamentals of Classical Thermodynamics'', Section 2.1 (3rd edition), John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-82933-1</ref>。

[[穩態_(系統)|穩態]]時，控制體積可以視為一個其中流體體積為定值的任意空間。流體可能會流進或流出控制體積，但流入控制體積的流體質量等於流出控制體積的流體質量。在穩態且沒有功或能量的交換，控制體積內的能量也是一個定值。控制體積的概念類似古典力學的[[自由體圖]]。
==簡介==
一般來說，若要了解[[科學定律]]在特定系統下的作用，可以先應用在小的控制體積內。控制體積本身沒有特別之處，只是系統的一小部份，讓物理定律可以應用的範圍。這就產生了體積相關的數學公式。

科学规律在控制空間內依一定的方式運作，因為控制空間沒有特別之處，因此可以假設科学规律在系統的其他空間也會以相同方式運作。可以發展[[数学模型]]對應單點公式，描述科學規律在整個系統內的行為

在[[连续介质力学]]中，[[守恒定律]]（例如[[纳维-斯托克斯方程]]）是以積分形式出現，因此可以適用在所有的體積裡。尋找獨立於控制空間的方程式，有助於簡化積分的符號。控制空間可以是靜止的，也可以依特定速度移動<ref>
{{Cite journal 
|last1=Nangia
|first1=Nishant 
|last2=Johansen 
|first2=Hans
|last3=Patankar 
|first3=Neelesh A. 
|last4=Bhalla 
|first4=Amneet Pal S.
|title=A moving control volume approach to computing hydrodynamic forces and torques on immersed bodies
|journal=Journal of Computational Physics
|volume=347
|pages=437–462
|year=2017
|doi=10.1016/j.jcp.2017.06.047|arxiv=1704.00239|bibcode=2017JCoPh.347..437N|s2cid=37560541 
}}
</ref>。
== 物質導數 ==
{{Main|物質導數}}
连续介质力学的運算中，常需要將時間[[导数]]運算子 
<math>d/dt\;</math> 
改為[[物質導數]]運算子
<math>D/Dt</math>.
可以用下例來說明。

假設有小蟲和控制體積一起移動，其中有隨時間和位置而變化的[[纯量场]]（例如壓力）：
<math>p=p(t,x,y,z)\;</math>.

若小蟲在 
<math>t\;</math> 
到
<math>t+dt\;</math> 
的時間區間內，從位置 
<math>(x,y,z)\;</math> 
移動到位置
<math>(x+dx, y+dy, z+dz),\;</math>
，則小蟲感受到的壓力變化為
:<math>dp = \frac{\partial p}{\partial t}dt 
+ \frac{\partial p}{\partial x}dx 
+ \frac{\partial p}{\partial y}dy 
+ \frac{\partial p}{\partial z}dz</math>
（[[全微分]]）。若小蟲移動的[[速度]]如下
<math>\mathbf v = (v_x, v_y, v_z),</math> 
位置的變化可以表示為 
<math>\mathbf v dt = (v_xdt, v_ydt, v_zdt),</math> 
因此壓力變化可以表示如下
:<math>\begin{alignat}{2}
dp & 
= \frac{\partial p}{\partial t}dt 
+ \frac{\partial p}{\partial x}v_xdt 
+ \frac{\partial p}{\partial y}v_ydt 
+ \frac{\partial p}{\partial z}v_zdt \\ &
= \left(
\frac{\partial p}{\partial t}
+ \frac{\partial p}{\partial x}v_x 
+ \frac{\partial p}{\partial y}v_y 
+ \frac{\partial p}{\partial z}v_z
\right)dt \\ &
= \left(
\frac{\partial p}{\partial t} 
+ \mathbf v \cdot\nabla p
\right)dt. \\
\end{alignat}</math>

其中<math>\nabla p</math>是向量場''p''的[[梯度|gradient]]。因此

:<math>\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf v \cdot\nabla.</math>

若小蟲是和流場一起移動，上述的公式仍適用，不過速度向量''v''會改為[[流速]]向量''u''。

在壓力變化的公式中，最後一個括弧內的公式即為壓力純量的物質導數。

因為壓力p是任意的純量場，因此物質導數運算子可以如下式表示：
<math>\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf u \cdot\nabla.</math>

==相關條目==
*[[纳维－斯托克斯方程]]
*[[狭义相对论]]
*[[流体力学]]

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:流体力学]]
[[Category:热力学]]