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'''控制李亞普諾夫函數'''（control-Lyapunov function）<ref>Freeman (46)</ref>是在[[控制理论]]中，針對[[動態系統]]及控制輸入的[[李亞普諾夫函數]]。

原始的李亞普諾夫函數是要判斷[[动力系统]]是否穩定（更嚴格的要求是漸近穩定），也就是說，系統若啟始條件是在某一區域D中的狀態<math>x \ne 0</math>，最後是否可以持續的維持在區域D內。若要判斷漸近穩定，則要判斷系統最後是否會回到<math>x = 0</math>。

控制李亞普諾夫函數是判斷系統是否可以回授穩定（feedback stabilizable），也就是針對每一個狀態''x''，是否存在一控制輸入<math> u(x,t)</math>可以將系統帶回到原點。

考慮以下的獨立控制系統
:<math>
\dot{x}=f(x,u)
</math>
其中
:<math>x\in\mathbf{R}^n</math>為狀態向量，
:<math>u\in\mathbf{R}^m</math>為控制向量

目標是可以在區域<math>D\subset\mathbf{R}^n</math>內將其回授穩定到<math>x=0</math>。

控制李亞普諾夫函數是指函數<math>V:D\rightarrow\mathbf{R}</math>具有連續可微、正定（也就是<math>V(x)</math>在<math>x=0</math>位置為0，其餘位置都是正值）的特性，而且使下式成立
:<math>
\forall x \ne 0, \exists u \qquad \dot{V}(x,u)=\nabla V(x) \cdot f(x,u) < 0.
</math>

最後一個條件是關鍵：對於每一個狀態''x''，可以找到可以降低能量''V''的控制項''u''。直覺上，若對於每一個狀態都可以找到方法降低能量，就可以將能量降到零，因此可以讓系統停止。這是透過[[Artstein定理]]證明的。

[[Artstein定理]]：動態系統有可微分控制李亞普諾夫函數的[[充份必要條件]]是存在一個<!--regular-->可以穩定系統的回授''u''(''x'')。

特定系統的控制李亞普諾夫函數不一定好找，不過若是找到了這種函數，回授穩定化問題可以作相當的精簡，可以簡化為靜態的非線性[[最优化]]問題
:<math>
u^*(x) = \operatorname*{argmin}_u \nabla V(x) \cdot f(x,u)
</math>
對於每一個狀態x都成立。
 
有關控制李亞普諾夫函數是由Z. Artstein和{{le|Eduardo D. Sontag|Eduardo D. Sontag}}在1980年代及1990年代所提出的。

==例子==
以下是一個將李亞普諾夫候選函數應用在控制問題中的例子。

考慮一個非線性的質量-彈簧-阻尼系統，其彈簧是硬化彈簧，而質量和位置有關，方程式為
:<math>
m(1+q^2)\ddot{q}+b\dot{q}+K_0q+K_1q^3=u
</math>

現在假定想要的狀態<math>q_d</math>、實際狀態<math>q</math>、誤差<math>e = q_d - q</math>，定義函數<math>r</math>為
:<math>
r=\dot{e}+\alpha e
</math>
以下是一個候選的控制李亞普諾夫函數
:<math>
V=\frac{1}{2}r^2
</math>
若<math> q \ne 0</math>, <math>\dot{q} \ne 0</math>，上述函數皆為正定。

再計算<math>V</math>的時間導數
:<math>
\dot{V}=r\dot{r}
</math>
:<math>
\dot{V}=(\dot{e}+\alpha e)(\ddot{e}+\alpha \dot{e})
</math>

其目的是使時間導數滿足下式
:<math>
\dot{V}=-\kappa V
</math>
若<math>V</math>是全域的正定，上式則為全域的指數穩定。

因此會希望<math>\dot{V}</math>最右邊的括弧 
:<math>
(\ddot{e}+\alpha \dot{e})=(\ddot{q}_d-\ddot{q}+\alpha \dot{e})
</math>
滿足以下條件
:<math>
(\ddot{q}_d-\ddot{q}+\alpha \dot{e}) = -\frac{\kappa}{2}(\dot{e}+\alpha e)
</math>
用動力系統中的<math>\ddot{q}</math>取代，可以得到
:<math>
(\ddot{q}_d-\frac{u-K_0q-K_1q^3-b\dot{q}}{m(1+q^2)}+\alpha \dot{e}) = -\frac{\kappa}{2}(\dot{e}+\alpha e)
</math>
求解<math>u</math>可以得到控制律
:<math>
u= m(1+q^2)(\ddot{q}_d + \alpha \dot{e}+\frac{\kappa}{2}r )+K_0q+K_1q^3+b\dot{q}
</math>
其中<math>\kappa</math>和<math>\alpha</math>都遠大於0，為可調整性能的參數。

控制律會確保全域的指數穩定性，因為透過時間導數的替換，可以如預期的，使下式成立
:<math>
\dot{V}=-\kappa V
</math>
是線性一階微分方程，其解為
:<math>
V=V(0)e^{-\kappa t}
</math>

因此誤差及誤差率（記得<math>V=\frac{1}{2}(\dot{e}+\alpha e)^2</math>）都會指數衰減到零。

若希望由上式調整出特定的響應，需要將響應替換<math>V</math>中的內容，然後求解<math>e</math>，頭幾步為

:<math>
r\dot{r}=-\frac{\kappa}{2}r^2
</math>
:<math>
\dot{r}=-\frac{\kappa}{2}r
</math>
:<math>
r=r(0)e^{-\frac{\kappa}{2} t}
</math>
:<math>
\dot{e}+\alpha e= (\dot{e}(0)+\alpha e(0))e^{-\frac{\kappa}{2} t} 
</math>
可以由任何求解線性微分方程式的方式來求解。

==腳註==
{{reflist}}
==參考資料==
*{{cite book|last=Freeman|first=Randy A.|author2=Petar V. Kokotović|title=Robust Nonlinear Control Design|publisher=Birkhäuser|year=2008|edition=illustrated, reprint|pages=257|isbn=0-8176-4758-9|url=https://books.google.com/books?id=_eTb4Yl0SOEC|accessdate=2009-03-04}}
==相關條目==
*[[Artstein定理]]
*{{le|李亞普諾夫最佳化|Lyapunov optimization}}
*{{le|漂移加惩罚|Drift plus penalty}}
[[Category:稳定性理论]]