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[[File:Almost integer in triangle.svg|thumb|250px|Ed Pegg jr.先生發現上圖中的線段d長度為<math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{30}(61421-23\sqrt{5831385})} </math>，非常接近7（數值為7.0000000857）<ref name="MathWorld"/>]]

在[[趣味數學]]中，'''接近整数'''是指很接近[[整數]]的[[無理數]]。這類數字中，有些因為其數學上的特性使其接近整数，有些還找不到其特性，看起來似乎只是[[數學巧合|巧合]]。

==有關黃金比例及其他皮索特-维贾亚拉加文数==

[[黃金比例]]<math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.61803398875\,</math>的高次方符合此特性。例如
* <math>\varphi^{17}=\frac{3571+1597\sqrt5}{2}\approx 3571.00028 \approx F_{16}+F_{18}</math>
* <math>\varphi^{18}=2889+1292\sqrt5 \approx 5777.999827 \approx F_{17}+F_{19}</math>
* <math>\varphi^{19}=\frac{9349+4181\sqrt5}{2}\approx 9349.000107 \approx F_{18}+F_{20}</math>
:其中<math>F_n</math>代表[[費波納契數列]]的第<math>n</math>項

這是因為有恆等式<math>\varphi^n=F_{n-1}+F_n \times \varphi</math>{{NoteTag|1=此式可利用[[數學歸納法]]與性質<math>\varphi^2=\varphi+1</math>證明。}}，所以當<math>n</math>為足夠大的正整數時，
:<math>\varphi^n=F_{n-1}+F_n \times \varphi \approx F_{n-1}+F_n \times \left( \frac{F_{n+1}}{F_n} \right)=F_{n-1}+F_{n+1}</math>
這些數字接近整數的原因和[[黃金比例]]的特性有關，不是[[數學巧合]]。其原因是因為黃金比例為[[皮索特-维贾亚拉加文数]]，而皮索特-维贾亚拉加文数的高次方會是接近整數。

這些數字與[[費波納契數]]有密切的關係，因為費波納契數相鄰兩項的比值會[[趨近於]]黃金比例，而如果m整除n，則第m個費波納契數也會整除第n個費波納契數。

皮索特-维贾亚拉加文数是指[[代數數]]本身大於1，而且其[[極小多項式]]中另一根的絕對值小於1。像[[黃金比例]]本身大於1，<math>\varphi</math>的最小多項式為
<math>x^2 - x - 1=0</math>

另一根為
<math>\overline{\varphi}=\frac{1-\sqrt5}{2}\approx -0.618\,</math>

絕對值小於1，因此黃金比例為皮索特-维贾亚拉加文数，其高次方會是接近整数。

依照[[根和系数的关系]]，可得知

<math>\varphi \overline{\varphi} = -1</math>

<math>\varphi+\overline{\varphi} = 1</math>

而<math>\varphi^n + \overline{\varphi}^n</math>可以用<math>\varphi \overline{\varphi}</math> 及<math>\varphi+\overline{\varphi}</math>來表示，由於二根之和及二根之積均為整數，計算所得的結果也是一個正整數，假設為一正整數K，則<math>\varphi^n</math>可以用下式表示

<math>\varphi^n = K - \overline{\varphi}^n</math>

由於<math>\overline{\varphi}</math>的絕對值小於1，在n增大時，其高次方會趨於0，此時可得

<math>\varphi^n \approx K</math>

除了黃金比例外，其他皮索特-维贾亚拉加文数的無理數也符合此一條件，例如<math>1+\sqrt2</math>。

==有關黑格納數==

以下也是幾個非巧合出現的接近整數，和最大三項的[[黑格納數]]有關：
* <math>e^{\pi\sqrt{43}}\approx 884736743.999777466\,</math>
* <math>e^{\pi\sqrt{67}}\approx 147197952743.999998662454\,</math>
* <math>e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768743.99999999999925007\,</math>
以上三式可以用以下的式子表示<ref>{{Cite web |url=http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en |title=存档副本 |access-date=2011-09-17 |archive-date=2009-08-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090811214935/http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en |dead-url=no }}</ref>:
:<math>e^{\pi\sqrt{43}}=12^3(9^2-1)^3+744-2.225\cdots\times 10^{-4}\,</math>
:<math>e^{\pi\sqrt{67}}=12^3(21^2-1)^3+744-1.337\cdots\times 10^{-6}\,</math>
:<math>e^{\pi\sqrt{163}}=12^3(231^2-1)^3+744-7.499\cdots\times 10^{-13}\,</math>
其中：<math>21=3\times7,231=3\times7\times11,744=24\times 31\,</math>
由於[[艾森斯坦級數]]的關係，使得上式中出現平方項。常數<math>e^{\pi\sqrt{163}}\,</math>有時會稱為[[拉馬努金常數]]。

==有關π及e==

許多有關[[圓周率|π]]及[[e (數學常數)|e]]的常數也是接近整數，例如
:<math>e^{\pi}-\pi=19.999099979189\cdots\,</math>
以及
:<math>e^{5\pi}=6635623.999341134233\cdots\,</math>
[[格尔丰德常数]]（<math>e^{\pi}\,</math>）接近<math>\pi+20\,</math>，至2011年為止還沒找到出現此特性的原因<ref name="MathWorld">Eric Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html "Almost Integer"] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html |date=20210109103808 }} at MathWorld</ref>，因此只能視為一[[數學巧合]]。另一個有關格尔丰德常数的常數也是接近整數
<math>\frac{e^\pi-\pi-1}{6\pi}=1.00793356\cdots\,</math>

以下也是一些接近整數的例子
*<math>22{\pi}^4=2143.0000027480\cdots\,</math>
*<math>{\pi}^5=306.019684\cdots\, </math>
*<math>{\pi}^3=31.006276\cdots\,</math>
*<math>{\pi}^{13/2}=1704.017978\cdots\,</math>
*<math>{\pi}^3-\frac{\pi}{500}=30.999993494\cdots\,</math>
*<math>{\pi}^2+\frac{\pi}{24}=10.000504\cdots\,</math>
*<math>{\pi}^5-3{\pi}^3=213.0008547\cdots\,</math>
*<math>e^\pi-\pi+0.0009=19.9999999791\cdots\, </math>
*<math>e^3=20.0855369\cdots\, </math>
*<math>e^{9/2}=90.0171313\cdots\, </math>
*<math>e^{\pi\sqrt{2}}=85.019695\cdots\, </math>
*<math>e^6-{\pi}^5-{\pi}^4=0.00001767\cdots\, </math>
*<math>9{\pi}^5-2e^3=2714.00608922\cdots\, </math>
*<math>e^{13/2}-\pi=662.00004039\cdots\, </math>
*<math>{\pi}^{13/2}-e^{9/2}=1614.00084707\cdots\, </math>

==其他例子==
:{| class="wikitable"
|-
| <math>{}_{\cos\left\{\pi\cos\left[\pi\cos\ln\left(\pi+20\right)\right]\right\}\approx -0.9999999999999999999999999999999999606783 }</math>
| <math>{}_{\sin2017\sqrt[5]2\approx -0.9999999999999999785} </math>
| <math>{}_{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lfloor n\tanh \pi \rfloor}{10^n}-\frac{1}{81}\approx 1.11\times10^{-269}}</math>
| <math>{}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)-\frac{19}{5}\approx 3.057684294154\times10^{-6}}</math>
|-
| <math>{}_{1+\frac{103378831900730205293632}{e^{3\pi\sqrt{163}}}-\frac{196884}{e^{2\pi\sqrt{163}}}-\frac{262537412640768744}{e^{\pi\sqrt{163}}}\approx 1.161367900476\times10^{-59}}</math>
| <math>{}_{\frac{\ln^2262537412640768744}{\pi^2}-163\approx 2.32167\times10^{-29}}</math>
| <math>{}_{10\tanh\frac{28}{15}\pi-\frac{\pi^9}{e^8}\approx 3.661398\times10^{-8}}</math>
| <math>{}_{ \sqrt[4]{\frac{91}{10}}-\frac{33}{19}\approx 3.661398\times10^{-8}}</math>
|-
| <math>{}_{ \gamma-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)=\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)\approx 2.72\times10^{-7}}</math>
| <math>{}_{\frac{\left(5+\sqrt5\right)\Gamma\left({3\over4}\right)}{e^{\frac{5}{6}\pi}}\approx1.000000000000045422}</math>
| <math>{}_{{1\over4}\left(\cos{1\over10}+\cosh{1\over10}+2\cos{\sqrt2\over20}\cosh{\sqrt2\over20}\right)\approx 1.000000000000248 }</math>
| <math>{}_{e^6-\pi^5-\pi^4\approx1.7673\times10^{-5}}</math>
|-
| <math>{}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)\approx 3.0576842941540143382\times 10^{-6}}</math>
| <math>{}_{ \left(3\sqrt5\right)^{\gamma}=\left(3\sqrt5\right)^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x}\approx 3.000060964}</math>
| <math>{}_{ e^{\phi_0\left(\frac{2+\sqrt3}{4}\right)}=e^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{te^t}-\frac{e^{\frac{2-\sqrt3}{4}t}}{e^t-1}\right){\rm{d}}t}\approx 1.99999969}</math>
| <math>{}_{ \frac{\sqrt[3]9}{3\ln 2}\approx 1.00030887}</math>
|-
|<math>{}_{\sum_{k=-\infty}^{\infty}10^{-\frac{k^2}{10000}}-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}=\theta_3\left(0,\frac{1}{\sqrt[10000]{10}}\right)-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}\approx1.3809\times10^{-18613}}</math>
| <math>{}_{ {\pi^9\over e^8}\approx 9.998387}</math>
| <math>{}_{ e^{\pi}-\pi\approx 19.999099979}</math>
| <math>{}_{ \frac{e^{\pi}-\ln3}{\ln2}-\frac{4}{5}\approx 31.0000000033}</math>
|-
|<math>{}_{\frac{\pi^{11}}{e^3}-\Gamma\left[\Gamma\left(\pi+1\right)+1\right]=\frac{\pi^{11}}{e^3}-\int_0^{\infty}\frac{t^{\int_0^{\infty}\frac{u^{\pi}}{e^u}{\rm{d}}u}}{e^t} {\rm{d}}t\approx 7266.9999993632596}</math>
| <math>{}_{ 163\left(\pi-e\right)\approx 68.999664}</math>
| <math>{}_{ \left(\frac{23}{9}\right)^5=\frac{6436343}{59049}\approx 109.00003387}</math>
| <math>{}_{ 88\ln 89\approx 395.00000053}</math>
|-
| <math>{}_{ 510\lg 7\approx 431.00000040727098}</math>
| <math>{}_{ 272\log_{\pi}97\approx 1087.000000204}</math>
| <math>{}_{ \frac{53453}{\ln 53453}\approx 4910.00000122}</math>
| <math>{}_{ \frac{53453}{\ln 53453}+\frac{163}{\ln 163}\approx 4941.99999995925082 }</math>
|-
|<math>{}_{\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.570287024592328869357\times 10^{-6}}</math>
|<math>{}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.57055302118\times 10^{-6}}</math>
|<math>{}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.65996596963\times 10^{-10}}</math>
| <math>{}_{ \frac{163}{\ln 163}\approx 31.9999987343}</math>
|}

:<math>2^{2^{2/3}}\approx 3.00507511272</math>

:<math>4 \ln 2.117\approx 2.99999996861</math>

:<math>{}_{ \ln K_0-\ln\ln K_0\approx 1.0000744}</math> ，其中<math>K_0</math>是[[辛钦常数]]<!--checked-->

:<math>{}_{\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}10^{-n\left[k-(10^{n-1}-1)\right]}k}{10^{\sum_{k=0}^{n-1}9\times 10^{k-1}k}}=\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{k=0}^{n-1}10^k(n-k)}}\approx 1.022344\times10^{-9}}</math>


:<math>{}_{-\frac{1}{5} +e^{\frac{6}{5}} {}_4F_3\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{20},\frac{3}{10},\frac{11}{20};\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{2}{25e^{\frac{6}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{9}{20},\frac{7}{10},\frac{19}{20};\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{7}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\frac{4}{125e^{\frac{12}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{2}{5},\frac{13}{20},\frac{9}{10},\frac{23}{20};\frac{4}{5},\frac{6}{5},\frac{8}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{7}{625e^{\frac{18}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{3}{5},\frac{17}{20},\frac{11}{10},\frac{27}{20};\frac{6}{5},\frac{7}{5},\frac{9}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\pi\approx 2.89221114964408683\times10^{-8}}</math>


:<math>{}_{\qquad\mbox{Root of }  x^6-615x^5+151290x^4-18608670x^3+1144433205x^2-28153057165x+39605=0} \,</math>

:<math>{}_{\frac{615-55\sqrt5-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5+6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5-6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}}{6}\approx 1.40677447684\times10^{-6}}</math>


:<math>{}_{\qquad\mbox{Root of }  312500000x^5-6843750000x^4+6826250000x^3+10476025000x^2-7886869750x-72099=0} \,</math>

:<math>{}_{\tan\left(\frac{\arctan 4}{5}+\frac{4\pi}{5}\right)+\frac{19}{50}=\frac{219}{50}+\frac{-1-\sqrt5+\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884+799{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt5-\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884-799{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156+289{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156-289{\rm{i}}}\approx -9.141538637378949398666277\times 10^{-6}}</math>


:<math>{}_{\rm{erfi}\left(\rm{erfi}\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t} e^{u^2} \rm{d} u
=\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left[\frac{4u\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right]}{e^{u^2}}{\rm{d}}u
=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{{}_{\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t}} e^{u^2} {\rm{d}} u
=\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{4u}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)}{e^{u^2}} {\rm{d}} u\approx 1.00002087363809430195879}</math>
*<math>\sin 11 = -0.999990207...</math>，這是由於<math>3.5 \pi \approx 10.9956 \approx 11</math>的緣故，另一個類似的例子為<math>\sin 355 = -0.00003014435335948844921433...</math>
*<math>\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2+.......+552057^2} \approx 236818619.0000004307</math>
*<math>\frac{5^6}{6^5} \approx 2</math>

== 外部連結 ==
* [http://cogprints.org/3667/1/APRI-PH-2004-12b.pdf J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought] {{Wayback|url=http://cogprints.org/3667/1/APRI-PH-2004-12b.pdf |date=20110515162308 }}

== 註釋 ==
{{NoteFoot}}

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:趣味數學]]