查看“︁排序不等式”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{Unreferenced|time=2020-01-28T10:09:21+00:00}}
'''排序不等式'''是[[數學]]上的一條[[不等式]]。它可以推導出很多有名的不等式，例如[[算術幾何平均不等式]]（簡稱[[算幾不等式]]），[[柯西不等式]]，和[[切比雪夫總和不等式]]。它是說：

如果 <math>x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n</math>，和 <math>y_1 \le y_2 \le \cdots \le y_n</math> 是兩組實數。而 <math>x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}</math> 是<math>x_1, \ldots , x_n</math>的一個[[排列]]。排序不等式指出 <math>x_1y_1 + \cdots + x_ny_n \ge x_{\sigma (1)}y_1 + \cdots + x_{\sigma (n)}y_n \ge x_ny_1 + \cdots + x_1y_n</math>。

以文字可以說成是順序和不小於亂序和，亂序和不小於逆序和。與很多不等式不同，排序不等式不需限定<math>x_i, \, y_i</math>的正負。

== 證明 ==

排序不等式可以用[[數學歸納法]]證明。關鍵在於下列結果：

若 <math>x_i \le x_j, \, y_i \le y_j</math>，則有 <math>(x_j - x_i)(y_j - y_i) \ge 0</math>

移項得出 <math>x_i y_i + x_j y_j \ge x_j y_i + x_i y_j</math>。

重複以上步骤便可得出排序不等式。

[[Category:代数不等式]]



我们设 <math>S_i</math> 为 <math>b_1,b_2, \dots b_n</math> 原序列的前 <math>i</math> 个数的和，即 <math>S_i=b_1+b_2+\dots b_i</math>。

设 <math>S'</math> 为打乱顺序后的序列，<math>S'_i</math> 表示乱序后的前 <math>i</math> 个数的和。所以有 <math>S_i \le S'_i</math>。

注意到 <math>a_n-a_{n+1} \le 0</math>，则 <math>S_i \times (a_n-a_{n+1}) \ge S'_i \times (a_n-a_{n+1}) </math>

<math>\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^{n-1} S_k(a_k-a_{k+1})+S_na_n \ge \sum_{k=1}^{n-1} S'_k(a_k-a_{k+1})+S'_na_n(S'_n=S_n)</math>

得证。
{{math-stub}}