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{{Expand|time=2013-03-18T13:50:55+00:00 }}

'''舍入误差'''（{{lang-en|'''round-off error'''}})，是指运算得到的[[近似值]]和[[精确值]]之间的差异。比如当用有限位数的[[浮点数]]来表示[[实数]]的时候(理论上存在无限位数的浮点数)就会产生舍入误差。舍入误差是[[量化误差]]的一种形式。
如果在一系列运算中的一步或者几步产生了舍入误差，在某些情况下，误差会随着运算次数增加而积累得很大，最终得出没有意义的运算结果。

== 表示误差 ==
把一个浮点数在计算机中表示，可能会引起误差，这样的误差叫做'''表示误差'''。例如：

<center><table class="wikitable">
<tr><th>数学表达式</th>
<th>精确值</th>
<th>近似值</th>
<th>误差</th>
<tr><td>1/7</td>
<td>0.<span style=text-decoration:overline>142&nbsp;857</span>{{OEIS|id=A020806}}</td>
<td>0.142&nbsp;857</td>
<td>0.000&nbsp;000&nbsp;<span style=text-decoration:overline>142&nbsp;857</span></td>
<tr><td>[[2的自然對數|ln 2]]</td>
<td>0.693&nbsp;147&nbsp;180&nbsp;559&nbsp;945&nbsp;309&nbsp;41... &nbsp;{{OEIS|id=A002162}}</td>
<td>0.693&nbsp;147</td>
<td>0.000&nbsp;000&nbsp;180&nbsp;559&nbsp;945&nbsp;309&nbsp;41...</td>
<tr><td>[[常用對數|log<sub>10</sub> 2]]</td>
<td>0.301&nbsp;029&nbsp;995&nbsp;663&nbsp;981&nbsp;195&nbsp;21... &nbsp;{{OEIS|id=A007524}}</td>
<td>0.3010</td>
<td>0.000&nbsp;029&nbsp;995&nbsp;663&nbsp;981&nbsp;195&nbsp;21...</td>
<tr><td>[[立方根|{{unicode|∛}}<span style=text-decoration:overline>&nbsp;2&nbsp;</span>]]</td>
<td>1.259&nbsp;921&nbsp;049&nbsp;894&nbsp;873&nbsp;164&nbsp;76... &nbsp;{{OEIS|id=A002580}}</td>
<td>1.25992</td>
<td>0.000&nbsp;001&nbsp;049&nbsp;894&nbsp;873&nbsp;164&nbsp;76...</td>
<tr><td>[[2的算術平方根|√<span style=text-decoration:overline>&nbsp;2&nbsp;</span>]]</td>
<td>1.414&nbsp;213&nbsp;562&nbsp;373&nbsp;095&nbsp;048&nbsp;80... &nbsp;{{OEIS|id=A002193}}</td>
<td>1.41421</td>
<td>0.000&nbsp;003&nbsp;562&nbsp;373&nbsp;095&nbsp;048&nbsp;80...</td>
<tr><td>[[E (數學常數)|e]]</td>
<td>2.718&nbsp;281&nbsp;828&nbsp;459&nbsp;045&nbsp;235&nbsp;36... &nbsp;{{OEIS|id=A001113}}</td>
<td>2.718&nbsp;281&nbsp;828&nbsp;459&nbsp;045 &nbsp;</td>
<td>0.000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;235&nbsp;36...</td>
<tr><td>[[圓周率|π]]</td>
<td>3.141&nbsp;592&nbsp;653&nbsp;589&nbsp;793&nbsp;238&nbsp;46... &nbsp;{{OEIS|id=A000796}}</td>
<td>3.141&nbsp;592&nbsp;653&nbsp;589&nbsp;793</td>
<td>0.000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;238&nbsp;46...</td>
</table></center>增加数字位数可以减少可能会产生的舍入误差，但是位数是有限的，在表示无限浮点数时仍然会产生误差。在用常规方法表示浮点数的情况下，这种误差是不可避免的，但是可以通过设置[[警戒位]]来减小。

多步舍入会增加舍入误差，例如数字9.945309在输入时被舍入到小数点后两位 (9.95)，显示时再舍入到小数点后一位 (10.0)，舍入误差是0.054691。如果原来的数只经过一步舍入到小数点后一位 (9.9)，舍入误差仅为0.045309。

[[IEEE 754|IEEE二进制浮点数算术标准]]中定义了以下几种舍入规则:
*'''朝0方向舍入''': 即截尾，直接将需要精确的位数以后的数位舍去。
:0.<span style=text-decoration:overline>142857</span> ≈ 0.142 (将小数点后第3位以后的数位全部舍去)
*'''舍入到最接近''': 即四舍五入，结果可能会变大或变小。
:0.<span style=text-decoration:overline>142857</span> ≈ 0.143 (因小数点后第4位<math>8\ge5</math>，所以小数点后第3位加1)
:0.<span style=text-decoration:overline>142857</span> ≈ 0.14 (因小数点后第3位<math>2 < 5 \!\ </math>，所以直接舍去)
*'''朝-∞方向舍入''': 总是向[[数轴]]的左方向舍入。
*'''朝+∞方向舍入''': 总是向数轴的右方向舍入。

== 举例 ==
* 1990年2月25日，[[海湾战争]]期间，在[[沙特阿拉伯]][[宰赫兰]]的[[爱国者导弹]]防御系统因浮点数舍入错误而失效，该系统的计算机精度仅有24位，存在0.0001%的计时误差，所以有效时间阙值是20个小时。当系统运行100个小时以后，已经积累了0.3422秒的误差。这个错误导致导弹系统不断地自我循环，而不能正确地瞄准目标。结果未能拦截一枚[[伊拉克]][[飞毛腿导弹]]，飞毛腿导弹在军营中爆炸，造成28名美国陆军死亡。<ref name="wolf">{{cite mathworld|urlname=RoundoffError|title=Roundoff Error |publisher=Wolfram |access-date=2010-06-17 |archive-date=2020-11-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201111223326/https://mathworld.wolfram.com/RoundoffError.html |dead-url=no }}</ref> <ref>{{cite web |url=http://personal.cis.strath.ac.uk/~mdd/teaching/pm/Patriot%20Missile%20PM%20Presentation.pdf |format=pdf |title=The Patriot Missile Disaster – What Went Wrong? |author=Liam McBrien |coauthors=Craig McNulty |publisher=Dr Mark Dunlop, University of Strathclyde |access-date=2010-06-17 |archive-date=2011-07-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110719151906/http://personal.cis.strath.ac.uk/~mdd/teaching/pm/Patriot%20Missile%20PM%20Presentation.pdf |dead-url=no }}</ref>

* 1996年6月4日，在[[亚利安五号运载火箭]]发射后37秒，偏离预定轨道而炸毁。原因是软件系统试图将64位浮点数转换为16位浮点数，造成溢出错误。<ref name="wolf" />

* [[温哥华证券交易所]]曾开发了一项[[股票指数]]. 当其在1982年推出时，指数的值是1000.000。在后来的重新计算时多次运用舍入到小数点后三位的操作。22个月以后，指数的值是524.881，然而事实上应该是1009.811。<ref name="wolf" />

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* {{en}}[[MathWorld]]上关于[http://mathworld.wolfram.com/RoundoffError.html 舍入误差] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/RoundoffError.html |date=20201111223326 }}的解释
* {{en}}D. Goldberg. [http://www.validlab.com/goldberg/paper.pdf 计算机科学家必备的浮点运算知识] {{Wayback|url=http://www.validlab.com/goldberg/paper.pdf |date=20191212073228 }}
* {{en}}[http://www.devtopics.com/20-famous-software-disasters/ 20个著名的软件灾难] {{Wayback|url=http://www.devtopics.com/20-famous-software-disasters/ |date=20210122035630 }}

== 参见 ==
* [[浮点数]]
* [[数值修约规则]]

[[Category:数值分析]]
[[Category:误差理论]]