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{{about|集合的0-1指示函数|其他指示特征的函数|示性函数}}

在[[集合論]]中，'''指示函数'''是定义在某[[集合_(数学)|集合]]''X''上的[[函数]]，表示其中有哪些元素属于某一[[子集]]''A''。指示函数有时候也称为'''示性函数'''或'''特征函数'''。

集''X''的子集''A''的指示函数是函数<math>1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace</math>，定义为

:{|
|rowspan=2|<math>1_A(x) = \begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\quad</math>
|&nbsp;若 <math>x \in A</math>
|-
|&nbsp;若 <math>x \notin A</math>
|}

''A''的指示函数也记作<math>\chi_A(x)\,</math>或<math>I_A(x)\,</math>。

== 简单性质 ==
把''X''的子集''A''对应到它的指示函数的映射是[[雙射]]，值域是所有函数<math>f:X \to \{0,1\}</math>的集合。

如果''A''和''B''是''X''的两个子集，那么
:<math>1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,</math>，
以及
:<math>1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B\,</math>。

更一般地，设''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub>是''X''的子集。对任意<math>x \in X</math>，可知

:<math> \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x)) = 1</math>当且仅当''x''不属于任何''A''<sub>k</sub>。
故有
:<math> \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}</math>。

展开左式

:{|
|<math> 1_{\bigcup_{k} A_k}</math>
|<math>= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}}(-1)^{|F|}\; 1_{\bigcap_F A_k}</math>
|-
|
|<math>= \sum_{\varnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1}\; 1_{\bigcap_F A_k} </math>，
|}

其中|''F''|是''F''的[[基数 (数学)|势]]。这是[[容斥原理]]的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是[[组合数学]]一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在[[概率论]]：若''X''是[[概率空间]]，有概率测度''P''，''A''是[[测度|可测集]]，那么''1<sub>A</sub>''就是[[随机变量]]，其[[期望值]]等于''A''的概率。

:<math>E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A)</math>。

这等式用于[[马尔可夫不等式]]的一个简单证明裡。

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