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[[File:Azimuthal Equidistant N90.jpg|thumb|right|過北極的切面，到地面表面的指數映射，[[地圖學]]稱為{{link-en|方位等距投影|azimuthal equidistant projection}}。]]

[[黎曼几何]]中，'''指數映射'''<math>\exp_p</math>（{{lang-en|exponential map}}）是由某（[[伪黎曼流形|偽]]）[[黎曼流形]]<math>M</math>[[切空间]]<math>T_p M</math>的子集，到<math>M</math>本身的映射。（伪）黎曼度量對應某個典範[[仿射聯絡]]，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个聯絡的指数映射。直觀理解，由起點<math>p</math>出發，以揀選切向量<math>v\in T_p M</math>為速度，沿流形上的「直線」行單位時間，到達的終點就是<math>\exp_p (v)</math>。

== 定義 ==
設<math>M</math>為[[微分流形]]，<math>p</math>為<math>M</math>上一點。利用<math>M</math>上的[[仿射联络]]，可以定義過<math>p</math>點的[[測地線]]。<ref>本節可參考{{harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1975|loc=§III.6}}，其稱仿射聯絡為{{lang|en|linear connection}}「線性聯絡」。</ref>

設<math>v \in T_p M</math>為於<math>p</math>點的[[切空間|切向量]]，則獨有一條[[测地线]]<math>\gamma_v</math>滿足<math>\gamma_v (0) = p</math>，而初始切向量為<math>\gamma_v'(0) = v</math>。對應的指數映射<math>\exp_p</math>由
:<math>\exp_p(v) = \gamma_v (1)</math>
定義。一般而言，指數映射不必在全個<math>T_p M</math>有定義，而衹有局部定義，即定義域是<math>T_p M</math>原點的小鄰域，映到<math>p</math>在流形上的某鄰域內。原因是，測地線之所以存在（和唯一），藉賴[[常微分方程]]解的[[柯西-利普希茨定理]]，但該定理是僅在局部成立。若指數映射在[[切丛]]處處有定義，則該線性聯絡稱為[[霍普夫-里諾定理|完備]]。

== 參考資料 ==
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* {{citation|last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|authorlink1=小林昭七|last2=Nomizu|first2=Katsumi|authorlink2=野水克己|title={{le|微分幾何基礎|Foundations of Differential Geometry|Foundations of Differential Geometry}}|volume=Vol. 1|publisher=Wiley-Interscience|year=1996|edition=New|isbn=0-471-15733-3}}.

[[Category:黎曼幾何]]