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在[[微分幾何]]中，'''指數映射'''是[[微積分]]中定義的[[指數函數]]在任意[[黎曼流形]]上的推廣。[[李群]]上的指數映射是一類重要的情形。

==定義==
設 <math>M</math> 為[[微分流形]]，<math>\nabla: TM \to T^* M \otimes TM</math> 為其上的[[仿射聯絡]]。給定任一點 <math>p \in M</math>。根據常[[微分方程]]的基本理論，存在[[切空間]] <math>T_p M</math> 中的開子集 <math>U \ni p</math> 及光滑映射 <math>\gamma: U \times [0,2] \to M</math>，使得：
* <math>\gamma(0,-) = p</math>
* 對每個 <math>v \in U</math>，映射 <math>\gamma(v,-): [0,2] \to M</math> 是[[測地線]]。
* 承上，<math>\frac{d}{dt}|_{t=0}\gamma(v,t) = v</math>。

對夠小的 <math>U</math>，映射 <math>\gamma</math> 是唯一的。定義點 <math>p</math> 的指數映射為
: <math>\exp(w) = \gamma(w,1) \quad (w \in U)</math>

由於常微分方程解的存在性只是局部性的，指數映射一般不能定義在整個 <math>T_p M</math> 上，在黎曼流形的情形，[[霍普夫-里諾定理]]給出了充要條件。此外，指數映射通常也不是滿映射，而是 <math>p</math> 的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作[[測地法坐標]]。

从几何上看，指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v，映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

==李群的情形==
設 <math>G</math> 為[[李群]]，取定左、右不變之仿射聯絡，可得在整個[[李代數]]上定義的指數映射 <math>\exp: \mathfrak{g} \to g</math>。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質：
* 若 <math>[X,Y]=0</math>，則 <math>\exp(X+Y) = \exp(X)\exp(Y)</math>；對一般情形，左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
* <math>\exp(\mathfrak{g})</math> 在群論的意義下生成 <math>G</math>。
* 設 <math>\phi\colon G \to H</math> 為李群[[群同態|同態]]，<math>\phi_{*}</math> 為它在單位元處的拉回作用，則我们有一[[交換圖]]
[[File:ExponentialMap-01.png|center]]
* 重要的特例是 <math>G=H</math> 而 <math>\phi = \mathrm{Ad}_g</math>（伴隨作用），此時有
**<math>g(\exp X)g^{-1} = \exp(\mathrm{Ad}_gX)\,</math>
**<math>\mathrm{Ad}_{\exp X} = \exp(\mathrm{ad}_X)\,</math>

取 <math>G = (\mathbb{R}^\times, \cdot)</math>，相應者便是尋常的[[指數函數]] <math>x \mapsto e^x</math>。取 <math>G = (\mathbb{R}^n, +)</math>，相應者是恆等映射 <math>\mathrm{id}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math>。

事實上，對複李群及任何完備[[体 (数学)|域]]上的解析李群都能定義指數映射。

== 文獻 ==
*Manfredo P. do Carmo, ''Riemannian Geometry'', Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
*Jeff Cheeger and David G. Ebin, ''Comparison Theorems in Riemannian Geometry'', Elsevier (1975). 

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