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在數學上，'''指數多項式'''（exponential polynomials）是一類定義於[[交換群]]、[[環 (代數)|環]]、[[域 (數學)|域]]等之上，並同時有著帶變數[[多項式]]和[[指數函數]]的函數。

==定義==
===域上的定義===
指數多項式是同時帶有變數<math>x</math>和某種指數函數<math>E(x)</math>的多項式。在[[複數]]域<math>\mathrm{C}</math>中，將<math>x</math>映至<math>e^x</math>的常規指數函數就是這樣的指數函數。在這情境下，指數多項式一般指的是形如<math>P(x,e^x)</math>且<math>P(x,e^x)\in\mathrm{C}</math>的雙變數多項式。<ref>C. J. Moreno, ''The zeros of exponential polynomials'', Compositio Mathematica 26 (1973), pp.69&ndash;78.</ref><ref>M. Waldschmidt, ''Diophantine approximation on linear algebraic groups'', [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2000.</ref>

複數域<math>\mathrm{C}</math>並無特別之處；指數多項式也可指稱任何[[指數域]]或指數環上的多項式，其中<math>e^x</math>可代以這些環或域中相對應的指數函數；<ref>Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, ''A Schanuel property for exponentially transcendental powers'', (2008), [https://arxiv.org/abs/0810.4457v1 arXiv:0810.4457v1] {{Wayback|url=https://arxiv.org/abs/0810.4457v1 |date=20240110032107 }}</ref>類似地，並無理由認為這樣的函數只能有一個變數，而一個<math>n</math>個變數的指數多項式會是有著<math>P(x_1,\cdots,x_n,e^{x_1},\cdots,e^{x_n})</math>這樣的形式、帶有<math>2n</math>個變數的多項式。

對於域<math>K</math>上的指數多項式的形式，可處理如次：<ref name=EPSW140>{{cite book | last1=Everest | first1=Graham | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=Recurrence sequences | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=[[Providence, RI]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 | page=140 }}</ref>設<math>W</math>為<math>K</math>中的[[有限生成模|有限生成]]'''Z'''-[[模|子模]]，並考慮如下的和：

:<math>\sum_{i=1}^{m} f_i(X) \exp(w_i X)</math>

其中<math>f_i</math>是<math>K[X]</math>中的多項式，而<math>\exp(w_i X)</math>則是<math>W</math>中有著「<math>\exp(u+v)=\exp(u)\exp(v)</math>」這樣的性質、以<math>w_i</math>為指數的形式符號。

===交換群上的定義===
更加一般的情境下，一個「指數多項式」一詞可能會出現的地方，是交換群的指數函數。

和指數域對指數函數的定義類似，一個將[[拓樸交換群]]<math>\mathrm{G}</math>的元素映至複數域的加法群上的[[同態]]映射稱為'''加法函數'''；而將之映至複數域的非零元素構成的乘法群上的同態映射則稱為'''指數函數'''，或簡稱'''指數'''。加法函數與指數函數的乘積稱為指數單項式；而這些單項式的線性組合，就稱為<math>\mathrm{G}</math>上的指數多項式。<ref>László Székelyhidi, ''On the extension of exponential polynomials'', Mathematica Bohemica '''125''' (2000), pp.365&ndash;370.</ref><ref>P. G. Laird, ''On characterizations of exponential polynomials'', Pacific Journal of Mathematics '''80''' (1979), pp.503&ndash;507.</ref>

==性質==
'''Ritt定理'''（Ritt's theorem）指出，類似[[唯一分解整環|唯一分解定理]]和[[因式定理]]的定理，在指數多項式環上成立。<ref name=EPSW140/>

==應用==
定義於實數或複數上的指數多項式常出現於超越數論，在其中，這類函數出現於使用指數函數的證明中。指數多項式也是[[模型論]]和[[解析幾何]]間的連結。若將指數變體給定義為<math>\mathrm{R}^n</math>上的點，在其中某數量有限的指數多項式會傾向消失（vanish）的話，那麼就可利用諸如[[解析幾何]]中的Khovanskiǐ定理和[[模型論]]中的[[Wilkie定理]]等定理證明說，在允許包含更高維的指數變體的投影的像的狀況下，這些指數變體會有著良好的行為，也就是這些變體所構成的集合，在[[集合論]]運算下是穩定的。實際上，前述的這兩個定理可推出說實數所有的指數變體構成一個實數上的[[最小o結構]]（o-minimal structure）。

指數多項式也出現在線性[[時滯微分方程]]的特徵方程中。

==註解==
{{Reflist}}

[[Category:多項式]]