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[[File:Exponential.svg|thumb|300px|right|该图说明了指数增长（绿色）如何超过线性增长（红色）和幂增长（蓝色）。{{legend|green|指数增长}} {{legend|red|线性增长}} {{legend|blue|幂增长}}]]

'''指数增长'''（包括[[指数衰减]]）指一个函数的增长率与其函数值[[比例|成比例]]。在定义域为离散的且[[等差数列|等差]]的情况下。

指数增长模型也称作[[馬爾薩斯增長模式|马尔萨斯增长模型]]。

==基本公式==

变量''x''指数地依赖时间''t''，若

:<math>x(t)=a\cdot b^{\frac{t}{\tau}}\,</math>

其中常数''a''是''x''的初始值，

:<math>x(0)=a\, ,</math>
并且，常数''b''是正的增长率，''τ''为''x''增长''b''倍所需时间：

:<math>x(t+\tau)=x(t)\cdot b\, .</math>

若''τ'' > 0且''b'' > 1，则''x''为指数增长。若''τ'' < 0且''b'' > 1，或''τ'' > 0且0 < ''b'' < 1，则''x''为[[指数衰减]]。

==微分方程==
[[指数函数]]<math>\scriptstyle x(t)=ae^{kt}</math>满足[[线性微分方程]]：

:<math> \!\, \frac{dx}{dt} = kx</math>

则称''t''时刻''x''的增长率与函数值''x''(''t'')成正比，且[[初值]]为：
:<math>x(0)=a.\,</math>

对于<math>\scriptstyle a>0</math>微分方程可以使用[[分离变量法]]求解：

:<math>\frac{dx}{dt} = kx</math>

:<math>\Rightarrow \frac{dx}{x} = k\, dt</math>

:<math>\Rightarrow \int \frac{dx}{x} = \int k \, dt</math>

:<math>\Rightarrow \ln x =  kt + \text{constant}\, .</math>

考虑到给定初值：

:<math>\ln x =  kt + \ln a\,</math>

:<math>\Rightarrow x =  ae^{kt}\, </math>

这种解法对于<math>\scriptstyle a\le0</math>同样适用。

对于该增长模型的[[非线性]]变体，请参考[[Logistic函數]]。

== 相關條目 ==
* [[摩爾定律]]
* [[国际象棋盘与麦粒问题]]

== 文內注釋 ==
{{reflist}}

== 資料引用 ==
* Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) ''[[The Limits to Growth]]''. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
* Porritt, J. ''Capitalism as if the world matters'', Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
* Thomson, David G. ''Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth'', Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
* Tsirel, S. V. 2004. [https://web.archive.org/web/20160304034147/http://www.mmsed.narod.ru/articles/artTsirel.ps On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population]. ''Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics'' / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.

[[Category:常微分方程]]
[[Category:指数]]
[[Category:数学模型]]