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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
{{Redirect|Exp|複雜度-{zh-cn:类; zh-tw:類別;}-|EXPTIME|遊戲術語|经验值}}
[[File:exp.svg|thumb|260px|right|指数函数对于<math>x</math>的负数值非常平坦，对于<math>x</math>的正数值迅速攀升，在<math>x</math>等于<math>0</math>的时候等于<math>1</math>。它的<math>y</math>值总是等于在这一点上的[[斜率]]。]]

'''指数函数'''（{{lang-en|exponential function}}）是形式為<math>b^x</math>的數學[[函数]]，其中<math>b</math>是'''底數'''（或稱'''基數'''，{{lang|en|base}}），而<math>x</math>是'''[[指数|指數]]'''（{{lang|en|index / exponent}}）。

現今'''指數函數'''通常特指以<math>\mbox{e}</math>為底數的指數函數（即<math>\mbox{e}^x</math>），為[[数学]]中重要的函数，也可寫作<math>\exp(x)</math>。这里的<math>\mbox{e}</math>是数学常数，也就是[[e (数学常数)|自然对数函数的底数]]，近似值为<math>2.718281828</math>，又称为[[欧拉]]数。

作为[[实数]]变量<math>x</math>的函数，<math>y=\mbox{e}^x</math>的[[函数#函数图形|图像]]总是正的（在<math>x</math>轴之上）并递增（从左向右看），它不触及<math>x</math>轴，尽管它可以任意程度的靠近它，即<math>x</math>轴是这个图像的水平[[渐近线]]。一般的说，[[变量]]<math>x</math>可以是任何实数或[[复数 (数学)|复数]]，甚至是完全不同种类的[[数学对象]]。它的[[反函数]]是定义在所有正数<math>x</math>上的[[自然对数]]<math>\ln{x}</math>。

本文集中于带有底数为欧拉数<math>\mbox{e}</math>的指数函数。有时，特别是在[[科学]]中，术语'''指数函数'''更一般性的用于形如<math>kb^x</math>的函数，这里的<math>b</math>称为'''底数'''，是不等于<math>1</math>的任何正[[实数]]。

==概要==
最简单的說，指数函数按恒定速率翻倍。例如细菌培养时细菌总数（近似的）每三个小时翻倍，和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数。特別是[[複利]]，事實上就是它導致了[[雅各布·伯努利]]在1683年介入了現在叫做<math>e</math>的數<ref name="mactutor">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |author=John J O'Connor; Edmund F Robertson |publisher=University of St Andrews, Scotland |work=School of Mathematics and Statistics |accessdate=2011-06-13 |archive-date=2015-09-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150908012740/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html |dead-url=no }}</ref>：

:<math>\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n</math>

後來[[約翰·伯努利]]在1697年研究了指數函數的微積分。<ref name="mactutor" />

設1份借貸有<math>x</math>利率，逐月複利話，則每月增加當前值的<math display="inline">\frac{x}{12}</math>倍，每月總值都要乘以<math display="inline">(1+\frac{x}{12})</math>，一年的總值為<math display="inline">(1+\frac{x}{12})^{12}</math>，逐日複利的話，就是<math display="inline">(1+\frac{x}{365})^{365}</math><ref>假定利率為100%，借期1年本息合為200%，利息平均每月約8.3%。按複利可以只借1個月，1個月未能還款，本息合計為借款，如此1年下來本息合計約為261.3%。如果借貸者能在1個月內歸還，則不需要付1整年的利息，放貸者快速收回資金可以借給他人；拖到1年歸還，放貸者得到比正常放貸1年要高的利息；1年後按複利計算本息快速增長，借貸者可能就還不起了，而放貸者獲得抵押品。甚至可以逐日借款，這樣1年的收益高於261.3%，但增大不多，而借貸者可以更快還清少付利息，e 就是設立更小還款時限增加獲利，能達到的1年極限收益，即約為 271.8%。應區分[[抵押貸款]]和[[高利貸]]。</ref>。設年中時段數可為無限，則有如下最初由[[歐拉]]提出<ref>[[Eli Maor]], ''e: the Story of a Number'', p.156.</ref>的指數函數定義：

:<math>\exp(x) = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}</math>

指數函數有基本的指數恆等式，
:<math>\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)</math>

這是它寫為<math>e^x</math>的原因<ref name="e^x"><math>\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty}\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\right)^x</math><br />前者成為定義因其有導數上的重要性質。</ref>。

在[[雅各布·伯努利]]之前，[[約翰·納皮爾]]在1614年<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref>以及[[约斯特·比尔吉]]在6年後<ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991 |chapter=14, section "Jobst Bürgi"}}</ref>，分別發表了獨立編制的[[對數表]]，當時通過對接近1的底數的大量乘[[冪]]運算，來找到指定範圍和精度的[[對數]]和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念，直到1742年[[威廉·琼斯 (数学家)|威廉·琼斯]]才發表了現在的冪指數概念<ref><math>\left(1 + \frac{1}{n}\right)^x=\left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac {x}{n}}</math><br />在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。</ref>。按後世的觀點，[[約翰·納皮爾]]的底數0.9999999<sup>10000000</sup>相當接近<math display="inline">\frac{1}{e}</math><ref>選取接近e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的b<sup>x</sup>為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。</ref>，而[[约斯特·比尔吉]]的底數1.0001<sup>10000</sup>相當接近[[自然對數]]的底數<math>e</math>。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[[約翰·納皮爾]]用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，{{en-link|亨利·布里格斯|Henry Briggs (mathematician)}}建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法<ref>以<math>10^{\frac{1}{2^{54}}}</math>這個接近1的數為基礎。</ref>於1624年部份完成了[[常用對數]]表的編制。

==形式定义==
[[File:Exp series.gif|250px|right|thumb|指数函数（蓝色），幂级数的前''n''+1项的和（红色）。]] 
指数函数<math>e^x</math>可以用各种[[等价]]的方式定义。特别是它可以定义为[[幂级数]]：

: <math>e^x =1+ \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>

或[[序列的极限]]：

: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>

在这些定义中，<math>n!</math>表示<math>n</math>的[[阶乘]]，而<math>x</math>可以是任何[[实数]]、[[复数 (数学)|复数]]、和[[巴拿赫代数]]的元素。

設<math>x\geq0</math>是確定的非負實數。定義

:<math>t_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n,\ s_n = \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}.</math>

據[[二項式定理]]，
:<math>
\begin{align}
t_n & =\sum_{k=0}^n{n \choose k}\frac{x^k}{n^k}=1+x+\sum_{k=2}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots[n-(k-1)]x^k}{k!\,n^k} \\[8pt]
& = 1+x+\frac{x^2}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{x^3}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots \\[8pt]
& {}\qquad \cdots +\frac{x^n}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\le s_n
\end{align}
</math>

（設<math>x\geq 0</math>得到最終的不等式）故此

:<math>\limsup_{n\to\infty}t_n \le \limsup_{n\to\infty}s_n = e^x</math>

可證明當<math>n</math>趨於無限大時上述二定義等價。这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明，参见文章{{en-link|指数函数的特征描述|Characterizations of the exponential function}}。

==性质==
[[File:Expo02.svg|thumb|315px|<math>y=b^x</math>對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的<math>e</math>、藍色的2和青色的<math>\frac{1}{2}</math>。]]
從指数函数的定義：
:<math>e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}</math>
可得出它有[[冪]]運算的“指数定律”：
: <math>\!\, e^0 = 1</math>
: <math>\!\, e^1 = e</math>
: <math>\!\, e^{x + y} =  e^x e^y</math>
: <math>\!\, e^{x y} = \left( e^x \right)^y</math>
: <math>\!\, e^{-x} = {1 \over e^x} </math>

它们对所有实数''<math>x</math>''与<math>y</math>都是有效的。

因為在指數函數的定義中<math>x</math>是[[實數]]，可以使用[[自然对数]]，把更一般的指数函数，即正實數的實數[[冪]]函數定义為
: <math>\!\, b^x=(e^{\ln b})^x=e^{x \ln b}.</math>

定义于所有的<math>b>0</math>，和所有的[[实数]]''<math>x</math>''。它叫做“底数为<math>b</math>的指数函数”。從而拓展了通過[[乘方]]和[[方根]]運算定義的正實數的[[有理數]]冪函數：

:<math>b^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{b^m}.</math>
而方根運算可通過自然對數和指數函數來表示（[[单位根]]）
:<math> \sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n} = e^{\frac {\ln x}{n}}.</math>

介入數<math> e</math>的根本動機，特別是在[[微積分]]中，是通過指數函數和[[對數]]來進行[[導數]]和[[積分]]運算。<ref>Kline, M. (1998) ''Calculus: An intuitive and physical approach'', section 12.3 [http://books.google.co.jp/books?id=YdjK_rD7BEkC&pg=PA337 "The Derived Functions of Logarithmic Functions."] {{Wayback|url=http://books.google.co.jp/books?id=YdjK_rD7BEkC&pg=PA337|date=20140310053206}}, pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6</ref> 一般指數函數<math>y=b^x</math>有[[函数极限|極限]]形式的導數:

:<math>\frac{d}{dx}b^x=\lim_{h\to 0}\frac{b^{x+h}-b^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{b^{x}b^{h}-b^x}{h}=b^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{h}\right).</math>

最右端的極限無關於變量''<math>x</math>''：它依賴於底數<math>b</math>而是常量<ref>
<math>\begin{align}
\lim_{h\to 0}\left(b^h-1\right)\frac{1}{h} &= \lim_{\frac {1}{n}\to 0} \left( b^{\frac{1}{n}}-1 \right) n \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} n(b^{1/n} - 1) \\
&= \ln(b). \\
\end{align}</math><br />這裡的[[自然對數]]定義為[[歐拉]]提出，是他定義的指數函數的[[逆函數]]。
</ref>。根據求導的[[鏈式法則]]：

:<math>\frac{d}{dx} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n-1}.</math>

當這個底數是<math> e</math>時<ref name="e^x" />，這個常量等於1<ref>
<math>\frac{d}{dx} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \frac {n}{n+x} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.</math><br />這個函數的導數與函數值的比為 n/(n+x)，當n→∞時， n/(n+x)=1，等式兩端就是指數函數的導數和指數函數。
</ref>，因此有:

:<math>\frac{d}{dx}e^x = e^x.</math>

==导数和微分方程==
[[Image:Exp tangent.svg|thumb|250px|right|指數函數的導數等於這個函數的值。從在藍色曲線上任意一點 <math>P</math>，繪製紅色切線，和高度為 <math>h</math> 的垂直豎線，與在 <math>x</math> 軸上的底邊 <math>b</math> 形成了一個直角三角形。因為在 <math>P</math> 上的紅色切線的斜率（導數）等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值，<math>h</math> 必須等於 <math>h</math> 與 <math>b</math> 之比。因此底邊 <math>b</math> 必須總是 <math>1</math>。]]
指数函数在数学和科学中的重要性主要源于它的[[导数|导函数]]的性质。特别是
: <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>

就是说，<math> e^x</math>是它自己的[[导数|导函数]]。这可以用[[泰勒级数]]证明：
: <math>
\begin{align}
\frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt]
& =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt]
& =e^x
\end{align}
</math>

对于常数<math> K</math>的形如<math> Ke^x</math>的函数是唯一有这个性质的函数（这得出自[[皮卡-林德洛夫定理]]<ref>通过<math>y(t) = e^t, y(0)=K</math>和<math>f(t,y(t)) = y(t)</math>。</ref>）。其他等价说法有：
*函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。
*函数在<math> x</math>的增长速率等于在这个函数在''<math> x</math>''上的值。
*这个函数是[[微分方程]]<math>y'=y</math>的解。
*exp是[[泛函导数]]的[[不动点]]。
事实上，很多不同的方程引發指数函数，包括[[薛定谔方程]]和[[拉普拉斯方程]]和[[简单谐波运动]]的方程。

对于有其他底数的指数函数：
: <math>{d \over dx} b^x = (\ln b) b^x</math>
所以任何指数函数都是它自己导数的[[常数]]倍。

如果一个变量的增长或衰减速率是与它的大小成[[比例]]的，比如在无限制情况下的人口增长、[[复利]]和[[放射性衰变]]，则这个变量可以写为常数倍的时间的指数函数。

进一步的，对任何可微函数<math> f(x)</math>，我们可以通过[[链式法则]]找到：
: <math>{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}</math>.

== {{math|''e''<sup>''x''</sup>}}的连分数 ==

通过[[歐拉連分數公式]]得到''<math> e^x</math>''的[[連分數]]：

:<math>
  e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}}
</math>

<math> e^z</math>的[[廣義連分數]]收斂更快速:<ref>{{Cite web |url=http://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-94-91216-37-4%2F1 |title="A.2.2 The exponential function." L. Lorentzen and H. Waadeland, ''Continued Fractions'', Atlantis Studies in Mathematics, page 268. |access-date=2014-03-11 |archive-date=2021-03-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210308180709/http://link.springer.com/content/pdf/bbm:978-94-91216-37-4/1 |dead-url=no }}</ref>

:<math>
  e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}}
</math>

或者，替換<math> z=\frac{x}{y}</math>:

:<math>
  e^\frac{x}{y} = 1 + \cfrac{2x}{2y - x + \cfrac{x^2} {6y + \cfrac{x^2} {10y + \cfrac{x^2} {14y + \ddots}}}}
</math>

有特殊情況<math> z=2</math>:

:<math>
  e^2 = 1 + \cfrac{4}{0 + \cfrac{2^2}{6 + \cfrac{2^2}{10 + \cfrac{2^2}{14 + \ddots\,}}}} = 7 + \cfrac{2}{5 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{11 + \ddots\,}}}}
</math>

== 在複平面上 ==
[[File:EulerFormulaAsLimit.gif|thumb|right|指數函數<math> e^z</math>可以定義為<math> (1+\frac{z}{n})^n</math>在<math> n</math>趨於無窮時的[[序列的極限|極限]]。在本動畫中，<math> z=\frac{i\pi}{3}</math>而<math> n</math>選取從1增到100的各種值。<math> (1+\frac{z}{n})^n</math>的計算顯示為在[[複平面]]上<math> n</math>次乘法的組合效果。隨著<math> n</math>變大，這些點趨近於複平面[[單位圓]]，覆及<math> \frac{\pi}{3}</math>弧度的角度。]]
如同在[[實數]]情況下，在[[複平面]]的指數函數可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的:
: <math>e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!} </math>
或者[[序列的極限]]：
:<math>e^z = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n</math>

它带有[[虚数]]周期<math>2 \pi i</math><ref group="prove">
<math>e^{i\pi} = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{\pi}{n}i\right)^n</math>為<math>\left(1+\frac{\pi}{n}i\right)^n</math>的[[序列的極限|極限]]形式：
<gallery perrow="4" widths="200" heights="150">
File:EulerIdentity2.png
File:EulerIdentity2b.png
</gallery><gallery>
File:EulerIdentity8.png|8個三角形
File:EulerIdentity16.png|16個三角形
File:EulerIdentity2.svg|e<sup>iπ</sup>+1=0
</gallery>
故有[[歐拉恆等式]]：<math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
</ref>，它可以写为
: <math>\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)</math>
这里的<math> a</math>和<math> b</math>是实数值。参见[[欧拉公式]]，这个公式把指数函数和[[三角函数]]与指數函数联系起来。

在考虑定义在[[複平面]]上的函数的时候，指数函数拥有重要的性质
*<math>\!\, e^{z + w} = e^z e^w</math>
*<math>\!\, e^0 = 1</math>
*<math>\!\, e^z \ne 0</math>
*<math>\!\, {d \over dz} e^z = e^z</math>
*<math>\,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}</math>
对于所有的<math> z</math>和<math> w</math>。

它是周期的[[全纯函数]]。我们看到除了[[多项式]]的所有[[初等函数]]都以某种方式起源于指数函数。

扩展[[自然对数]]到復平面上的[[多值函数]]<math> \ln z</math>，我们可以接着定义更一般性的指数函数：
: <math>\!\, z^w = e^{w \ln z}</math>

对于所有复数<math> z</math>和<math> w</math>，这也是多值函数，即使是在<math> z</math>為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函數情況下必須改為:

: <math>(e^z)^w \ne e^{z w}</math>，而是 <math>(e^z)^w = e^{(z + 2\pi i n) w}\,</math> 多值於整數''n'' 之上。

指数函数把在複平面上任何[[直线]]映射到在複平面中以[[原点]]为中心的[[等角螺线|对数螺线]]。要注意两个特殊情况：当最初的线平行于实轴的时候，结果的螺线永不遮盖（close in on）自身；当最初的线平行于虚轴的时候，结果的螺线是某个半径的圆。

<gallery caption="在複平面上指数函数（主支）">
 Image:ExponentialAbs_real_SVG.svg| ''z'' = Re(''e''<sup>''x''+''iy''</sup>)
 Image:ExponentialAbs_image_SVG.svg| ''z'' = Im(''e''<sup>''x''+''iy''</sup>)
 Image:ExponentialAbs_SVG.svg| ''z'' = |''e''<sup>''x''+''iy''</sup>|
</gallery>

== 矩阵和巴拿赫代数 ==

上面给出的指数函数的定义可以用于所有[[巴拿赫代数]]，特别是对于方块[[矩阵]]（在这种情况函数叫做[[矩阵指数]]）。在这种情况下我们有
: <math>\ e^{x + y} = e^x e^y \mbox{ if } xy = yx</math>
: <math>\ e^0 = 1</math>
: <math>\ e^x</math>与<math>\ e^{-x}</math>是互倒的
: <math>\ e^x</math>在点<math>\ x</math>的导数是从<math>\ u</math>到<math>\ ue^x</math>的线性映射。

在非交换巴拿赫代数的上下文中，比如矩阵代数或在[[巴拿赫空间]]或[[希尔伯特空间]]上的算子，指数函数经常被认做实数参数的函数：
: <math>\ f(t) = e^{t A}</math>
这里的''A''是这个代数的固定元素而''t''是任何实数。这个函数有重要的性质
: <math>\ f(s + t) = f(s) f(t)</math>
: <math>\ f(0) = 1</math>
: <math>\ f'(t) = A f(t)</math>

== 在李代数上 ==
从[[李代数]]到[[李群]]的“指数映射”有着上述性质。事实上因为'''R'''是带有乘法的所有正实数的李群的李代数，实数参数的常规指数函数是李代数下的特殊情况。类似的，因为所有方块实数矩阵的李代数M (''n'', '''R''')属于所有正可逆方块矩阵的李群，方块矩阵的指数函数是李代数[[指數映射 (李群)|指数映射]]的特殊情况。

== 註釋與引用 ==
{{Reflist|2}}

=== 证明 ===
{{Reflist|group="prove"}}

== 外部链接 ==
* {{planetmath reference|title=Complex exponential function|id=6341|urlname=complexexponentialfunction}}
* {{MathWorld | urlname= ExponentialFunction | title= Exponential Function}}
* [https://web.archive.org/web/20070210173459/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexFunExponentialMod.html Complex Exponential Function Module by John H. Mathews]
* [http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponential.cfm Taylor Series Expansions of Exponential Functions] {{Wayback|url=http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponential.cfm |date=20090208165803 }} at [http://www.efunda.com efunda.com] {{Wayback|url=http://www.efunda.com/ |date=20090208165803 }} 
* [http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.html Complex exponential interactive graphic] {{Wayback|url=http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.html |date=20110608181649 }}

== 参见 ==
*[[指数函数的特征描述]]
*[[指数增长]]、[[指數衰減]]
*[[对数]]
*[[幂]]与[[幂定律]]
*[[迭代冪次]]
*[[古德温 - 斯塔顿积分]]

{{Authority control}}

[[Category:基本特殊函数]]
[[Category:解析函数]]
[[Category:指数]]
[[Category:特殊超几何函数]]
[[Category:E (数学常数)]]