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'''拿破崙問題'''（Napoleon's problem）是著名的[[尺规作图#圓規作圖|圓規作圖]]問題，原題如下：

給定一[[圓]]和其[[圓心]]，只用[[圓規]]將此圓四等分。（此圓指的是[[圓周]]而不是圓[[面積]]）

此題目是由[[義大利]][[數學家]][[洛倫佐·馬斯凱羅尼]]向[[拿破崙·波拿巴]]提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成'''只給定一圓，只用圓規將此圓四等分'''，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年，{{tsl|en|Georg Mohr|喬治·莫爾}}[[證明]]只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖<ref>Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).</ref>，但此證明直到1928年才被發現。<ref> Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.</ref>

==找出圓心==
[[File:Pb_napoleon.png|thumb|400px|right|<math>C</math>→深藍、<math>C_1</math>→紅、<math>C_2</math>→綠、<math>C_3</math>→紫、<math>C_4</math>→藍]]
===作法===
#在已知的圓<math> C</math>上找任意一點 '''A'''，以任意[[半徑]]畫[[弧]] <math>{\color{Red}C_1}</math>（必須和圓<math>C</math>有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓<math>C</math>於 '''B''''、'''B''' 兩點。
#分别以'''B''''、'''B'''為圓心， <math>\overline{B'A}</math>  、<math>\overline{BA}</math> 為半徑，畫兩条弧 <math>{\color{Green}C_2}</math>，兩弧线相交於 '''A''' 点和 '''C''' 點。
#再以 '''C''' 点為圓心、 <math>\overline{CA}</math>為半徑，畫弧 <math>{\color{RawSienna}C_3}</math> ，交弧<math>{\color{Red}C_1}</math>於 '''D''''、'''D'''兩點。
#以'''D''''、'''D'''為圓心， <math>\overline{D'A}</math> 、<math>\overline{DA}</math> 為半徑，畫兩条弧 <math>{\color{blue}C_4}</math> ，兩弧线相交於'''A'''点和'''O'''点。（'''O'''点即圓<math>C</math>的圓心）

===證明===
設圓<math>C_1</math>的半徑為<math>a</math>，圓<math>C_3</math>的半徑為<math>b</math>，我們知道：
:<math>a = \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{OD}</math>
:<math>b = \overline{AC} = \overline{DC}</math>

因為<math>\triangle ADC \thicksim \triangle AOD</math>，所以<math>\overline{AO}=\frac{a^2}{b}</math>

由於<math>\overline{AO}:\overline{AB} = a:b = \overline{AB}:\overline{AC}</math>，可以得出<math>\triangle ABC \thicksim \triangle AOB</math>

根據對稱性，<math>\overline{AO}</math>通過[[圓心]]，又<math>\overline{AO} = \overline{OB}</math>，所以<math>O</math>是圓<math>C</math>的圓心。

==四等分圓==
[[File:Nap4.png|300px|right]]
===作法===
由前面我們已經知道圓心的位置
#在已知的圓上找任意一點 <math>X</math>，以<math>\overline{XO}</math>為半徑畫弧 <math>{\color{Red}C_1}</math>，交圓於 <math>V</math>、<math>Y</math> 兩點。
#以 <math>Y</math> 為圓心，<math>\overline{YO}</math>為半徑畫弧 <math>{\color{Red}C_2}</math>，交圓於 <math>Z</math> 点（和 <math>X</math> 點）。
#（继续分别以 <math>Z</math>、<math>V</math> 為圓心，<math>\overline{ZO}</math>、<math>\overline{VO}</math> 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）<math>V</math>、<math>X</math>、<math>Y</math>、<math>Z</math> 為四个六等分點（如圖）。
#以 <math>V</math> 為圓心，<math>\overline{VY}</math>為半徑畫弧 <math>{\color{blue}C_3}</math>；以 <math>Z</math> 為圓心，<math>\overline{ZX}</math>為半徑畫弧 <math>{\color{blue}C_4}</math>，兩弧交於 <math>T</math> 點。
#以 <math>Z</math> 為圓心，取<math>\overline{OT}</math>的长度 <math>{\color{Green}D}</math> 為半徑畫弧 <math>{\color{Green}C_5}</math>，交圓於 <math>U</math>、<math>W</math> 兩點。
#<math>V</math>、<math>W</math>、<math>Z</math>、<math>U</math> 四點將圓四等分。

===證明===
設圓的半徑為<math>a</math>，容易得出<math>\overline{OV}</math>、<math>\overline{OX}</math>、<math>\overline{OY}</math>、<math>\overline{OZ}</math>、<math>\overline{VX}</math>、<math>\overline{XY}</math>、<math>\overline{YZ}</math>的長度都是<math>a</math>，可以得出<math>\overline{VY} = \overline{VT} = \sqrt{3}a</math>，根據[[畢氏定理]]可以得出<math>\overline{OT} = \sqrt{\overline{VT}^2-\overline{VO}^2} = \sqrt{2}a</math>，因此<math>V</math>、<math>W</math>、<math>Z</math>、<math>U</math>四點將圓四等分。

==參見==
*[[拿破崙定理]]
*[[尺規作圖]]
*[[尺规作图#圓規作圖|圓規作圖]]

==註解==
<references />

==參考資料==
*[http://mathworld.wolfram.com/NapoleonsProblem.html Napoleon's Problem] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/NapoleonsProblem.html |date=20191215224527 }}MathWorld
*[https://web.archive.org/web/20041026085501/http://www.chhs.tp.edu.tw/teacher/083/mathweb/problem/problem-newpon.htm 拿破崙分圓]

[[Category:圆]]
[[Category:数学问题]]