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在[[数学]]中，特别是[[抽象代数]]裡，'''拟群'''是一种类似于[[群]]的[[代数结构]]。拟群与群的相像之处是也能够进行[[除法]]运算，但拟群中并没有群所拥有的[[结合律]]。有[[单位元]]的拟群称作'''幺拟群'''或者'''圈'''（loop）。 

== 定义 ==
拟群的正规定义有两种，分别带有一种和三种[[二元运算]]。

=== 代數 ===
一个'''拟群''' (''Q'', *) 是一个[[集合 (数学)|集合]] ''Q'' 与一个[[二元运算]] * 的结合（即一个[[原群]]），满足对 ''Q'' 中的任意元素 ''a'' 和 ''b''，都存在唯一的 ''Q'' 中元素 ''x'' 和 ''y''，使得：
* <math> a * x = b </math> ；
* <math> y * a = b </math> 。
这两个唯一的元素被记作：''x'' = ''a'' \ ''b'' 和 ''y'' = ''b'' / ''a''。其中“\” 和 “/”分别表示被二元运算所定义的“左除法”和“右除法”。拟群的公理化需要用到[[存在量词]]，因此也就需要建立在[[一阶逻辑]]之上。

=== 泛代數 ===
拟群的第二个定义是建立在[[泛代数]]的背景中。泛代数希望代数结构为[[簇 (泛代数)|簇]]，也就是说其公理化过程应该只需要到等式的概念。在这样的要求下，拟群被定义为：

一个'''拟群''' (''Q'', *, \, /) 是一种 (2,2,2) 代数，其满足等式:
*''y = x * (x ''\'' y)'' ；
*''y = x ''\'' (x * y)'' ；
*''y = (y ''/'' x) * x'' ；
*''y = (y * x) ''/'' x'' 。

因此如果 (''Q'', *) 是依据第一种定义的拟群，那么 (''Q'', *, \, /) 则是其在泛代数范畴内对应的概念。

== 圈 ==
一个有[[单位元]]的拟群称为一个'''幺拟群'''或一个'''圈'''。这里的单位元是指 ''Q'' 中元素 ''e'' 使得：
*''x''*''e'' = ''x'' = ''e''*''x'' 。
可以证明单位元 ''e'' 是唯一的，并且这时每一个 ''Q'' 中元素都有唯一的一个[[逆元素|左逆元]]和[[逆元素|右逆元]]。

== 例子 ==
* 每个[[群]]都是圈，因为 ''a'' * ''x'' = ''b'' [[当且仅当]] ''x'' = ''a''<sup>&minus;1</sup> * ''b''，以及''y'' * ''a'' = ''b'' 当且仅当 ''y'' = ''b'' * ''a''<sup>&minus;1</sup>。
* [[整数]]集合 '''Z''' 以及其上的[[减法]] (&minus;) 构成拟群（但不构成半群）。
* 所有非零的[[有理数]]的集合 '''Q'''* （或者所有非零实数构成的 '''R'''*）以及其上的[[除法]] (÷) 构成一个拟群。
* 所有[[特征 (代数)|特征]]不为2的[[体 (数学)|域]]上的[[向量空间]]以及其上的二元运算 ''x'' * ''y'' = (''x'' + ''y'') / 2 构成了一个[[幂等元|幂等]]的[[交换律|交换]]的拟群。
* 每个[[斯坦纳系统|斯坦纳三元系统]]都定义了一个[[幂等元|幂等]][[交换律|交换]]的拟群：其运算为将 ''a'' * ''b'' 对应到包含 ''a'' 和 ''b'' 的三元数组的第三个元。
* 集合{±1, ±i, ±j, ±k}，其中ii = jj = kk = 1 并且其他运算同于[[四元群]]，构成了非结合的8元圈。
* 非零[[八元数]]以及其上的乘法构成了一个圈，称为[[Moufang圈]].
* 一般来说，一个[[可除代数]]上的所有非零元构成一个拟群。

== 性质 ==
拟群具有[[可消去性]]：如果 ''ab'' =  ''ac''，那么 ''b'' = ''c''。同样地，如果 ''ba'' = ''ca''，那么 ''b'' = ''c''。

===左乘与右乘===
拟群 ''Q'' 的定义说明拟群中的左乘变换和右乘变换：
:<math>L(x)y = xy\,</math>
:<math>R(x)y = yx\,</math>
都是 ''Q''  到自身的[[双射]]。原群 ''Q'' 是拟群当且仅当这两个变换是双射变换，而且它们的逆变换给出了右除和左除变换：
:<math>L(x)^{-1}y = x\backslash y\,</math>
:<math>R(x)^{-1}y = y/x\,</math>
在这种标记下，拟群写作：
:<math>\begin{align}
L(x)L(x)^{-1} &= 1\qquad& x(x\backslash y) &= y\\
L(x)^{-1}L(x) &= 1\qquad& x\backslash(xy) &= y\\
R(x)R(x)^{-1} &= 1\qquad& (y/x)x &= y\\
R(x)^{-1}R(x) &= 1\qquad& (yx)/x &= y
\end{align}</math>

===拉丁方===
一个有限拟群的乘法构成的乘法表是一个[[拉丁方]]：一个 ''n'' &times; ''n'' 的表格，每行每列都是 n 个不同的元素的排列，并且每个元素恰好出现在每一行和每一列各一次。

反之，每个拉丁方都可以以多种方式成为一个拟群的乘法表。

===逆的性质===
对于每个圈，圈中的每个元素都有左逆和右逆：
:<math>x^{\lambda} = e/x \qquad x^{\lambda}x = e</math>
:<math>x^{\rho} = x\backslash e \qquad xx^{\rho} = e</math>

称一个圈是'''双边可逆'''的，如果对圈所有的 ''x''，<math>x^{\lambda} = x^{\rho}</math>。 这时的拟元素一般简记为 <math>x^{-1}</math>。

*一个圈有 '''左可逆性质'''，如果对所有的 <math>x</math> 和 <math>y</math> 都有 <math>x^{\lambda}(xy) = y</math>。同样地，<math>L(x)^{-1} = L(x^{\lambda})</math> 或者 <math>x\backslash y = x^{\lambda}y</math>。
*一个圈有 '''右可逆性质'''，如果对所有的 <math>x</math> 和 <math>y</math> 都有 <math>(yx)x^{\rho} = y</math>。 同样地，<math>R(x)^{-1} = R(x^{\rho})</math> 或者 <math>y/x = yx^{\rho}</math>。
*一个圈有 '''反自同构逆性质''' ，如果 <math>(xy)^{\lambda} = y^{\lambda}x^{\lambda}</math> 或者 <math>(xy)^{\rho} = y^{\rho}x^{\rho}</math>。
*一个圈有 '''弱可逆性质'''，如果 <math>(xy)z = e</math> 当且仅当 <math>x(yz) = e</math>。一个等价的叙述是对所有的 <math>x</math> 和 <math>y</math> 都有 <math>(xy)^{\lambda}x = y^{\lambda}</math> 或者 <math>x(yx)^{\rho} = y^{\rho}</math>。

如果一个圈同时具有左可逆和右可逆性质，则称其有 '''可逆性质'''。可逆的圈同时也拥有反自同构逆性质和弱可逆性质。实际上，满足以上四个性质中任意两个的圈都是可逆的，而满足前三个性质之一的圈都是双边可逆的。

==态射==
一个拟群或圈[[同态]]是两个拟群（圈）之间的映射：''f'' : ''Q'' →  ''P'' 满足 ''f''(''xy'') = ''f''(''x'')''f''(''y'')。 拟群同态保持了左右除法以及单位元（如果有的话）。

===同伦与同痕===
设 ''Q'' 和 ''P'' 为拟群，一个从 ''Q'' 到 ''P'' 的 '''拟群同伦''' 是一个从 ''Q'' 到 ''P'' 的映射三元组(α, β, γ) 使得对 ''Q'' 中所有的 ''x'', ''y''，有
:<math>\alpha(x)\beta(y) = \gamma(xy)\,</math>
三个映射都相同时，就是一个拟群同态。

一个'''同痕'''是使得 (α, β, γ) 中所有的三个映射都是[[双射]]的拟群同伦。两个拟群是'''同痕'''的当且仅当它们之间存在同痕映射。
在拉丁方中，三元组 (α, β, γ) 由第 α 和第 β 列的一个置换以及其余集合上的一个置换 γ 给出。

一个'''自同痕'''是从 ''Q'' 射到自身的同痕。一个拟群的所有自同痕构成一个群。

每个拟群都与某个圈同痕。如果一个圈与某个群同痕，那么它与此群同构，因此也为一个群。但是，如果一个拟群与某个群同痕，由于缺乏单位元，拟群本身不一定是群。比如说，实数集合 '''R''' 与其上的运算(''x''+''y'')/2 构成的拟群同痕于 '''R''' 上的加法群，但它本身不是群。

== 参见 ==
*[[半群]]
*[[幺半群]]
*[[同伦]]
*[[同痕]]

==参考来源==
* Akivis, M. A., and Goldberg, Vladislav V. (2001) "Solution of Belousov's problem," ''Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21'': 93–103.
* Bruck, R.H. (1958) ''A Survey of Binary Systems''.  Springer-Verlag.
* Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J. D. H. Smith, eds. (1990) ''Quasigroups and Loops: Theory and Applications''.  Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
* Pflugfelder, H.O. (1990) ''Quasigroups and Loops: Introduction''.  Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
* Smith, J.D.H. (2007) ''An Introduction to Quasigroups and their Representations''.  Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8.
* -------- and Anna B. Romanowska (1999) ''Post-Modern Algebra''.  Wiley-Interscience.  ISBN 0-471-12738-8.

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20080705041442/http://www-math.cudenver.edu/~wcherowi/courses/m6406/csln2.html 拟群]
*[https://web.archive.org/web/20080114044106/http://www.math.du.edu/plq/ 拟群理论和圈理论中的问题]

[[Category:非结合代数]]
[[Category:群论]]
[[Category:拉丁方]]
[[Category:代数结构]]