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[[數學]]中，'''拓撲斯'''（'''topos'''）是一種[[範疇]]，性狀類似[[拓撲空間]]上的[[集合 (数学)|集合]][[層]]範疇。

== 格羅滕迪克拓撲斯（幾何中的拓子） ==
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自1940年代層的引入，數學中一個重要的主題便成了用空間上的層研究空間。[[亞曆山大·格羅滕迪克]]以引入'''拓子'''的概念，詳細說明了這個想法。在數學中，常常有這樣的情況：拓撲直覺很有效，但是並沒有拓撲空間，這时拓撲斯便顯出它的功效；有時可以找到一個拓撲斯，使得直覺形式化。這個程式化的想法最偉大的成就是[[概形]]的[[平展拓撲斯]]的引入。

=== 等價構造 ===
令''C''為一範疇。Giraud的一個定理斷言，以下命題等價：
*有小範疇''D''和包含關係''C'' <math>\hookrightarrow</math> Presh(''D'')使得其存在保持有限極限的[[左伴隨]]。
*''C''是格羅滕迪克site上的層範疇。
*''C''滿足以下的Giraud公理

有如上之性質的範疇稱為“（格羅滕迪克）拓撲斯”。這裡Presh(''D'')表示從''D''到幾何範疇的反變[[函子]]範疇；如此的反變函子常被稱為[[預層_(范疇論)|預層]]。

==== Giraud公理 ====
範疇''C''的Giraud公理是：
*''C''的[[生成元_(範疇論)|生成元]]構成小集合，且允許所有小的[[余極限]]。進一步，余極限與[[纖維積]]可交換。
*''C''中的和是不交的。換句話說，''X''和''Y''在它們和上的[[纖維積]]是''C''的初對象。
*''C''中所有等價關係皆為有效的。

最後一個公理需要最多解釋。若''X''為''C''中對象，''X''上一等價關係''R''為''C''中映射''R''→''X''×''X''，使得所有映射Hom(''Y'',''R'')→Hom(''Y'',''X'')×Hom(''Y'',''X'')是集合中的等價關係。因為''C''有余極限，我們可構作兩映射''R''→''X''的余等化子''X''/''R''。這等價關係是有效的，若典範映射

:<math>R \to X \times_{X/R} X \,\!</math>

是同構。

==== 例子 ====

Giraud定理已經給出了“sites上的層”作為例子的完全列表。注意不等價的sites常常給出等價的拓撲斯。如介紹所示，普通拓撲空間上的層激發了很多拓撲斯理論的基本定義和結果。

集合的範疇是特別而重要的情形：它在拓撲斯理論中扮演了點的角色。確實，一個集合可被理解成單點上的層。

更多外來的例子和拓撲斯理論存在的理由來自代數幾何。對一[[概形]]甚至是棧，我們可關聯[[平展拓撲|平展]]拓撲斯，fppf拓撲斯，Nisnevich拓撲斯……

=== 幾何態射 ===
如果''X''和''Y''是拓撲斯，一個'''幾何態射'''''u'':&nbsp;''X''&rarr;''Y''是一對伴隨函子(''u''<sup>&lowast;</sup>,''u''<sub>&lowast;</sub>)，使得''u''<sup>&lowast;</sup>保持有限極限。注意''u''<sup>&lowast;</sup>由於有右伴隨而自動保持余極限。

通過[[Freyd伴隨函子定理]]，給定一幾何態射''X'' → ''Y''相當於給定一保持有限極限和所有小余極限的函子''u''<sup>&lowast;</sup>:&nbsp;''Y'' → ''X''。

因此拓撲斯間的幾何態射可以被看成[[完全海廷代數|locales]]的映射的類似。

若''X''和''Y''是拓撲空間，''u''是其間的連續映射，層上的前推和拉回給出相關拓撲斯間的幾何態射。

==== 拓撲斯的點 ====

拓子''X''中的點是從集合的拓子到''X''的幾何態射。

若''X''是普通拓撲空間，''x''是''X''的點，那麼把層''F''帶到它的莖''F<sub>x</sub>''的函子有右伴隨（“摩天大樓層”函子），因此''X''的普通點同時決定了一個拓撲斯理論中的點。這些可以用沿連續映射''x'':&nbsp;''1'' &rarr; ''X''的拉回前推來構造。

==== 基本幾何態射 ====

一幾何態射(''u''<sup>&lowast;</sup>,''u''<sub>&lowast;</sub>)被稱為'''基本'''的，若''u''<sup>&lowast;</sup>有進一步左伴隨''u''<sub>!</sub>，或等價地（由伴隨函子定理）若''u''<sup>&lowast;</sup>不僅保持有限而且保持所有小極限。

=== 賦環拓撲斯 ===

一個'''賦環拓撲斯'''是對''(X,R)''，其中''X''是一拓撲斯而''R''是''X''中交換環對象。大部分[[賦環空間]]的構造可用在賦環拓撲斯上。''X''中''R''模對象範疇是有足夠內射元的[[阿貝爾範疇]]。更有用的阿貝爾範疇是擬凝聚''R''模子範疇：它們是有展示的''R''模。

除賦環空間，另一類重要的賦環拓撲斯是[[代數棧|德利涅-芒福德棧]]的平展拓撲斯。

=== 拓撲斯的同倫理論 ===

== 基本拓撲斯（邏輯中的拓撲斯） ==

=== 介紹 ===

=== 形式定義 ===

=== 解釋 ===

=== 進一步的例子 ===

== 參見 ==
* [[範疇論]]
* {{link-en|格羅滕迪克拓撲|Grothendieck Topology}}

==參考資料==
{{reflist|2}}

=== 补充来源 ===
;一些論文:
* [[John Baez]]: "[http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html Topos theory in a nutshell.] {{Wayback|url=http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html |date=20201218190428 }}" A gentle introduction.
* [[Steve Vickers (academia)|Steven Vickers]]: "[http://www.cs.bham.ac.uk/~sjv/papers.php Toposes pour les nuls] {{Wayback|url=http://www.cs.bham.ac.uk/~sjv/papers.php |date=20200321030250 }}" and "[http://www.cs.bham.ac.uk/~sjv/TopPLVN.pdf Toposes pour les vraiment nuls.] {{Wayback|url=http://www.cs.bham.ac.uk/~sjv/TopPLVN.pdf |date=20200801181426 }}" Elementary and even more elementary introductions to toposes as generalized spaces.
* {{Citation|last=Illusie|first=Luc|title=What is a ... topos?|url=http://www.ams.org/notices/200409/what-is-illusie.pdf|journal=Notices of the AMS|accessdate=2011-02-05|archive-date=2020-08-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801181450/http://www.ams.org/notices/200409/what-is-illusie.pdf|dead-url=no}}

以下是對範疇論和拓撲斯易學的介紹。 它們適合對數理邏輯和集合論瞭解較少的人，甚至是非數學家。
* [[F. William Lawvere]] and Stephen H. Schanuel (1997) ''Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories''. Cambridge University Press. An "introduction to categories for computer scientists, logicians, physicists, linguists, etc." (cited from cover text).
* F. William Lawvere and Robert Rosebrugh (2003) ''Sets for Mathematics''. Cambridge University Press. Introduces the foundations of mathematics from a categorical perspective.
格羅滕迪克對拓撲斯基礎性的工作：
* [[Grothendieck]] and [[Jean-Louis Verdier|Verdier]]: ''Théorie des topos et cohomologie étale des schémas'' (known as [[SGA4]])". New York/Berlin: Springer, ??. (Lecture notes in mathematics, 269–270)
以下專著包括對部分或全部拓撲斯理論的介紹，但並非主要為初學者而寫。 越靠後難度越高。
* [[Colin McLarty]] (1992) ''Elementary Categories, Elementary Toposes''. Oxford Univ. Press. A nice introduction to the basics of category theory, topos theory, and topos logic. Assumes very few prerequisites.
* [[Robert Goldblatt]] (1984) ''Topoi, the Categorial Analysis of Logic'' (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. A good start. Reprinted 2006 by Dover Publications, and available [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3 online] {{Wayback|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3 |date=20200321030307 }} at [http://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/ Robert Goldblatt's homepage.] {{Wayback|url=http://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/ |date=20080518004636 }}
* [[John Lane Bell]] (2005) ''The Development of Categorical Logic''. Handbook of Philosophical Logic, Volume 12. Springer. Version available [http://publish.uwo.ca/~jbell/catlogprime.pdf online] {{Wayback|url=http://publish.uwo.ca/~jbell/catlogprime.pdf |date=20201204165232 }} at [http://publish.uwo.ca/~jbell/ John Bell's homepage.] {{Wayback|url=http://publish.uwo.ca/~jbell/ |date=20120805183429 }}
* [[Saunders Mac Lane]] and [[Ieke Moerdijk]] (1992) ''Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory''. Springer Verlag. More complete, and more difficult to read.
* [[Michael Barr (mathematician)|Michael Barr]] and Charles Wells (1985) ''Toposes, Triples and Theories''. Springer Verlag. Corrected online version at [https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html]. More concise than ''Sheaves in Geometry and Logic'', but hard on beginners.

;專家的參考文獻，不適合初次學習:
* Francis Borceux (1994) ''Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves'', Volume 52 of the ''Encyclopedia of Mathematics and its Applications''. Cambridge University Press. The third part of "Borceux' remarkable magnum opus", as Johnstone has labelled it. Still suitable as an introduction, though beginners may find it hard to recognize the most relevant results among the huge amount of material given.
* [[Peter Johnstone (mathematician)|Peter T. Johnstone]] (1977) ''Topos Theory'', L. M. S. Monographs no. 10. Academic Press. ISBN 0123878500. For a long time the standard compendium on topos theory. However, even Johnstone describes this work as "far too hard to read, and not for the faint-hearted."
* Peter T. Johnstone (2002) ''Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium''. Oxford Science Publications. As of early 2010, two of the scheduled three volumes of this overwhelming compendium were available. 

;以拓撲斯的特殊應用為目的的書:
* Maria Cristina Pedicchio and Walter Tholen, eds. (2004) ''Categorical Foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory''. Volume 97 of the ''Encyclopedia of Mathematics and its Applications''. Cambridge University Press. Includes many interesting special applications.

{{DEFAULTSORT:topos}}
[[Category:范畴论]]
[[Category:層論]]