查看“︁拓撲向量空間”︁的源代码


'''拓撲向量空間'''是[[泛函分析]]研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有[[拓撲結構]]的[[向量空間]]。

拓撲向量空間主要都是[[函數空間]]，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。

[[希爾伯特空間]]及[[巴拿赫空間]]是典型的例子。

==定義==
[[File:Topological vector space illust.svg|right|thumb|帶有上述兩個性質的原點的鄰域族唯一確定一個拓撲向量空間。在這個向量空間內的任何其他點的鄰域系統是通過[[平移]]獲得的。]]

一個'''拓撲向量空間''' ''X'' 是佈於一個[[拓撲域]] ''K'' （通常取實數或複數域）上的[[向量空間]]，其上帶有[[拓撲空間|拓撲結構]]使得向量加法 ''X'' × ''X'' → ''X''  與純量乘法 ''K'' × ''X'' → ''X'' 為連續映射。

'''註'''：某些作者也要求 ''X'' 是[[豪斯多夫]]空間，更有要求其為[[局部凸空間]]者（例如 Fréchet 空間）。一個拓撲向量空間是豪斯多夫空間的充分條件是該空間為 <math>T_1</math> 空間。

佈於 ''K'' 上的拓撲向量空間[[範疇論|範疇]]通常記為 '''TVS'''<sub>K</sub> 或 '''TVect'''<sub>'''K'''</sub>，其對象為佈於 ''K'' 上的拓撲向量空間，態射則為連續的 ''K''-線性映射。拓撲向量空間的同構是既是[[同胚]]也是線性的映射。

==例子==

所有[[賦範向量空間]]都是拓撲向量空間的例子。因此所有[[巴拿赫空間]]及[[希爾伯特空間]]也是這些例子。

===函數空間===
{{further|函數空間}}

在[[數學分析]]中應用的拓撲向量空間主要是函數空間。較常見的例子有：
* <math>C(X)</math>：拓撲空間 <math>X</math> 上的[[連續函數]]空間，其拓撲由一族[[半範數]] <math>\|f\| := \sup_{x \in K} |f(x)| </math> 定義，其中 <math>K</math> 遍取 <math>X</math> 中的緊子集。
* <math>C_0(X)</math>：拓撲空間 <math>X</math> 上的緊[[支撐集]]連續函數空間，拓撲由[[範數]] <math>\|f\| := \sup  |f(x)|</math> 定義。 
* [[Lp空間]]：測度空間 <math>(X,\mu)</math> 上滿足 <math>\int |f|^p \mathrm{d}\mu < +\infty</math> 的函數空間，拓撲由範數 <math>\|f\|_p := (\int |f|^p \mathrm{d}\mu < +\infty)^{1/p}</math> 定義，其中 <math>p \in [1, +\infty]</math>
* [[索伯列夫空間]]：[[偏微分方程]]理論中常用的空間，詳見主條目[[索伯列夫空間]]。
* [[分佈 (數學分析)|分佈]]：一種[[廣義函數]]理論，用以定義並研究偏微分方程的廣義解。全體分佈構成一個拓撲向量空間。
* 施瓦兹空間：又稱快速遞減函數空間，定義為 <math> \mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) := \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n) \mid  ||f||_{\alpha,\beta} < \infty\, \forall \, \alpha, \beta \} </math>，其中 <math>\alpha, \beta</math> 為[[多重指標]]，其中的半範數由 <math>||f||_{\alpha,\beta}=||x^\alpha D^\beta f||_\infty</math> 給出。此空間的重要性主要在於[[傅立葉變換]]理論。

===積向量空間===

當賦予[[乘積空間]]後，拓撲向量空間的家族的笛卡兒乘積都是拓撲向量空間．例如，''X''是''f'' : '''R''' → '''R'''函數的集合. ''X''可以被乘積空間'''R'''<sup>'''R'''</sup>來確定的，並帶有自然的[[乘積空間]]．有了這個拓撲，''X''成了拓撲向量空間，稱呼為[[逐點收斂]]的空間．命名的原因是如果(''f''<sub>''n''</sub>) 是''X''集合內元素的[[序列]]而對於所有實數''x'' ''f''<sub>''n''</sub>(''x'')都有一個極限 ''f''(''x'') ，那麼''f''<sub>''n''</sub>在''X''集合內有一個[[極限 (數學)|極限]]''f''．這個空間就是完整但不能賦範．

==拓撲結構==

向量空間對加法構成[[阿貝爾群]]，拓撲向量空間的加法逆運算 <math>v \mapsto -v</math> 是連續的（因為 <math>-v = (-1) \cdot v</math>），因此拓撲向量空間可視為可交換的[[拓撲群]]。

特別是：拓撲向量空間是[[一致空間]]，因此可以談論[[完備性]]、[[一致收斂]]與[[一致連續]]。向量運算（加法與純量積）是一致連續的，因此拓撲向量空間的完備化仍為拓撲向量空間，原空間在其中是個稠密的線性子空間。

向量運算不只連續，實則還是[[同胚]]，因此我們可以從原點附近的一組局部[[基 (拓撲學)|基]]重構整個空間的拓撲。局部基可由以下兩種開集組成：
* [[吸收集]]：<math>\forall v \in E \quad \exists \alpha \in \mathbb R_+^*\quad \forall \lambda \in K \quad |\lambda|\le \alpha \Rightarrow \lambda v \in U </math>；事實上，原點的任何鄰域都是吸收集。
* [[平衡集]]：<math>\forall \lambda \in K \quad \forall v \in E\quad |\lambda|\le 1 \Rightarrow \lambda v \in U </math>

一個拓撲向量空間可度量化的[[充要條件]]是：（一）它是[[豪斯多夫空間]]（二）原點有一組可數的局部[[基 (拓撲學)|基]]。

拓撲向量空間之間的線性函數若在某一點連續，則在整個定義域上連續。一個線性泛函連續的充要條件是其核為閉子空間。

有限維向量空間有唯一的豪斯多夫拓撲，因此任何有限維拓撲向量空間都同構於 <math>K^n</math>（帶[[上確界]]範數：<math>\| (a_1, \ldots, a_n)\| := \sup |a_i|</math>）。對於豪斯多夫拓撲向量空間，有限維等價於局部緊。

==拓撲向量空間的種類==

在應用中，我們常考慮具有一些附帶拓撲性質的空間，以下是一些常見的種類，大致以其性質之「良好」與否排序。

* [[局部凸拓撲向量空間]]：每一點都有一組由[[凸集]]構成的局部[[基 (拓撲學)|基]]。一個空間是局部緊若且唯若其拓撲可由一組[[半範數]]定義。局部緊性對某些「幾何」論證（例如[[哈恩-巴拿赫定理]]）至關重要。
* [[F-空間]]：由一個具平移不變性的度量定義的完備拓撲向量空間，例子包括[[Lp空間]]（p > 0）。
* [[弗雷歇空間]]：局部凸的 F-空間。許多有趣的函數空間都是弗雷歇空間。
* [[核空間]]：使得映至任何[[巴拿赫空間]]的有界算子均為[[核算子]]的弗雷歇空間。
* [[賦範向量空間]]與[[半賦範向量空間]]：顧名思義，即其拓撲由一範數或一族半範數定義的拓撲向量空間。在賦範向量空間中，一算子的連續性等價於有界性。
* [[巴拿赫空間]]：完備賦範向量空間。泛函分析學大部奠基於此。
* [[自反空间|自反巴拿赫空間]]：使得自然映射 <math>V \to V^{\wedge\wedge}</math> 為同構的巴拿赫空間。非自反空間的重要例子之一是 <math>L^1</math> 空間。
* [[希爾伯特空間]]：拓撲由一[[內積]]定義的拓撲向量空間。雖然這類空間可能是無窮維的，大部分有限維上的幾何論證仍可照搬至此。
* [[歐幾里得空間]]：即有限維的豪斯多夫拓撲向量空間。

==對偶空間==

拓撲向量空間 <math>V</math> 的[[連續對偶空間]]定義為所有連續線性泛函構成的空間 <math>V^*</math>，其拓撲可定義為使對偶配對 <math>V^* \times_K V \to K: (\lambda, v) \mapsto \lambda(v)</math> 為連續映射的最粗拓撲（稱為[[弱-*拓撲]]）。當 <math>V</math> 為[[巴拿赫空間]]時， 可以藉算子範數在 <math>V^*</math> 上定義更細的拓撲，然而弱-*拓撲具有一些緊緻性定理（[[巴拿赫-阿劳格鲁定理]]），因而在應用中仍相當重要。

==文獻==
*A Grothendieck: ''Topological vector spaces'', Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973. ISBN 978-0-677-30020-7
*G Köthe: ''Topological vector spaces''. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969. ISBN 978-0-387-04509-2
* {{cite book
 | last = Schaefer
 | first = Helmuth H.
 | year = 1971
 | title = Topological vector spaces
 | publisher = Springer-Verlag
 | location = New York
 | id = ISBN 978-0-387-98726-2
}}
* {{cite book 
 | last=Lang 
 | first=Serge 
 | title=Differential manifolds 
 | publisher=Addison-Wesley Publishing Co., Inc. 
 | location=Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont. 
 | year=1972 
}}
*F Trèves: ''Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels'', Academic Press, 1967. ISBN 978-0-486-45352-1.

{{Authority control}}
[[Category:泛函分析|T]]
[[Category:線性代數|T]]
[[Category:拓扑群|T]]
[[Category:拓扑向量空间|T]]
[[Category:函数空间的拓扑]]
{{泛函分析}}