查看“︁拓扑群”︁的源代码

{{Groups}}
在[[數學]]中，'''拓撲群'''是[[群]] ''G'' 和與之一起的 ''G'' 上的[[拓撲空間|拓撲]]，使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是[[連續函數 (拓撲學)|連續]]的。拓撲群允許依據[[連續群作用]]來研究連續對稱的概念。

== 形式定義 ==

'''拓撲群''' ''G'' 是[[拓撲空間]]和[[群]]使得群運算
:<math>G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy</math>
和
:<math>G\to G : x \mapsto x^{-1}</math>
是[[連續函數 (拓撲學)|連續函數]]。這里的 ''G'' &times; ''G'' 被看作使用[[積空間|乘積拓撲]]得到拓撲空間。

儘管我們這里沒有做其他要求，很多作者要求在 ''G'' 上的拓撲是[[豪斯多夫空間]]。下面會討論其理由和一些等價條件。最后，這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。

使用[[範疇論]]的語言，拓撲群可以簡明的定義為在[[拓撲空間範疇]]內的[[群對象]]，如同普通的群是[[集合範疇]]的群對象一樣。

=== 同態 ===

在兩個拓撲群 ''G'' 和 ''H'' 之間的[[同態]]就是連續[[群同態]] ''G'' → ''H''。拓撲群的[[同構]]則要求同時是[[群同構]]及對應拓撲空間的[[同胚]]。這比單純要求連續群同構要更強，因其逆函數必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上，任何非離散的拓撲群在用[[離散拓撲]]來考慮的時候也是（另一個）拓撲群。底層的群是一樣的（同構），但兩個拓撲群並非同構。

拓撲群和它們的同態一起形成一個[[範疇論|範疇]]。

== 例子 ==

每个群可以平凡地变成一个拓扑群，这是通过给它一个[[离散拓扑]]达成地；这样的群称为离散群。在这个意义下，拓扑群的理论包含了普通群的理论。

[[实数]] '''R'''，以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群。更一般的，[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>连同加法和标准的拓扑构成拓扑群。更一般的，所有[[拓扑向量空间]]（譬如[[巴拿赫空间]]和[[希尔伯特空间]]）的加法群是拓扑群。

上面的例子都是[[阿贝尔群]]的例子。非交换群的例子有各种[[李群]]（是拓扑群也是[[流形]]）。例如，[[一般线性群]]GL(''n'','''R''')由所有可逆''n''&times;''n''实系数[[矩阵]]组成，可以视为拓扑群，其拓扑定义为将GL(''n'','''R''')作为欧几里得空间'''R'''<sup>''n''&times;''n''</sup>的子空间得到的[[子空間拓撲]]。所有李群是[[局部紧]]的。

不是李群的拓扑群的一个例子是[[有理数]]'''Q'''其拓扑从实数继承。这是一个可数空间而它不是离散拓扑。对于一个非交换的例子，可以考虑'''R'''<sup>3</sup>的旋转群由绕不同轴作2&pi;的无理数倍的两个旋转所生成的子群。

在每个带乘法单位元的[[巴拿赫代数]]中，可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群。

== 性质 ==

拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响。例如，在任何拓扑群中[[单位分支]]（也就是包含单位的[[連通分支 (拓撲)|连通分支]]）是一个[[闭集|闭]][[正规子群]]。

拓扑群''G''上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚。同样，若a是G的任意元素，则a的左乘和右乘产生''G'' &rarr; ''G''的一个同胚。

每个拓扑群可以两种方式视为一个[[一致空间]]；“左一致性”将所有左乘变成一个[[一致连续]]映射，而“右一致性”将所有右乘变为一致连续映射。若''G''非交换，则这两个一致性并不相同。这个一致性结构使得在拓扑群上讨论[[完备性]]、一致连续、和[[一致收敛]]成为可能。

作为一个一致空间，每个拓扑群是一个[[完全正则空间]]。因而，若一个拓扑群是T<sub>0</sub>（也就是[[柯爾莫果洛夫空間]]），则它也是T<sub>2</sub> (也即[[豪斯多夫空间]])。 

两个拓扑群之间的最自然的[[同态]]概念是一个连续的群同态。拓扑群，和作为态射的连续群同态一起，构成一个[[範畴]]。

每个拓扑群的[[子群]]本身也是一个拓扑群，只要取[[子空間拓扑]]便可。若''H''是G的一个子群，所有左或右[[陪集]]''G''/''H''是一个拓扑空间，只要取[[商拓扑]]便可（''G''/''H''上使得自然[[投影]]''q'' : ''G'' &rarr; ''G''/''H''连续的[[離散拓撲|最细拓扑]])。可以证明[[商映射]]''q'' : ''G'' &rarr; ''G''/''H''总是[[开映射]]。

若''H''是一个G的[[正规子群]]，则[[因子群]]，''G''/''H''成为一个拓扑群，而从普通群理论来的[[同构基本定理]]在这个範围中也是成立的。但是，若''H''不是G的拓扑下的闭集，则''G''/''H''不是T<sub>0</sub>的，即使''G''是。因此很自然可以要求限制到只考虑T<sub>0</sub>拓扑群的範畴，并且限制定义中的正规到正规且闭。

若''H''是G的子群，则H的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]也是一个子群。同样，若H是一个[[正规子群]]，则H的闭包也是正规的。

==和数学其他领域的关系==

对于[[调和分析]]有特殊重要性的是[[局部紧]]拓扑群，因为它们承认一个自然的[[测度]]和[[积分]]的概念，由[[哈尔测度]]给出。在很多方面，局部紧拓扑群是[[可数群]]的一个推广，而紧拓扑群可以视为[[有限群]]的一个推广。[[群表示理论]]对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的。

==参看==
*[[李群]]
*[[代数群]]
*[[拓扑环]]

==参考==

*{{cite book | last = Husain | first = Taqdir | title = Introduction to Topological Groups | year = 1966 | publisher = W.B. Saunders Company | location = Philadelphia}}
*{{cite book | last = Pontryagin | first = Lev S. | authorlink = Lev Semenovich Pontryagin | title = Topological Groups | year = 1986 | edition = 3rd ed. | others = trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu | publisher = Gordon and Breach Science Publishers | location = New York | id = ISBN 978-2-88124-133-8}}

{{Authority control}}
[[Category:拓扑群|*]]