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{{no footnotes|time=2016-10-10T00:56:43+00:00}}
{{noteTA|G1=math}}'''拓扑空间'''（{{lang-en|Topological space}}）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象[[数学结构]]；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定義出如[[收敛]]、[[连通空间|连通]]、[[连续]]等概念。拓扑空间在现代[[数学]]的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为[[拓扑学]]。

== 定义动机 ==
拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義[[函數極限]]。

對於[[度量空间]] <math>(M,\,d)</math> 內的任一點 <math>x</math>，可定義中心為 <math>x</math>，半徑為 <math>r > 0</math> 的'''[[球 (数学)|開球]]'''

: <math>B(x;r) := \left\{
y \in M 
\,\bigg|\,
d(x,\,y) < r
\right\}</math>

然後把開球視為點 <math>x</math> 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 <math>x</math> ，都會有一個夠小的開球 <math>B(x;r)</math> 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 <math>(M,\,d)</math> 的'''開子集 <math>O \subseteq M</math>''' 為滿足如下條件的子集合

: <math>(\forall x \in O)(\exist r > 0) [\,
B(x;r) \subseteq O
\,] </math>

這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) '''任二開集的[[交集]]也是[[開集]]''' 

任取兩個 <math>(M,\,d)</math> 的開子集 '''<math>O_1,\,O_2 \subseteq M</math>''' ，若 '''<math>x \in O_1 \cap O_2</math>''' ，根據定義存在 '''<math>r_1,\,r_2 > 0</math>''' 使得 

: <math>B(x;r_1) \subseteq O_1 </math>
: <math>B(x;r_2) \subseteq O_2 </math>

這樣若取 '''<math>r = \min{\{r_1,\,r_2\}}</math>''' ，則會有：

: <math>B(x;r) \subseteq O_1 \cap O_2 </math>

也就是說， '''<math>O_1 \cap O_2</math>''' 也是個開集。

(2) '''任意個開集的[[并集]]也會是開集''' 

若 '''<math>\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(M) </math>''' 是一群開集所構成的集合，也就是說 

: <math>\forall O\{
(O \in \mathfrak{A})
\Rightarrow
(\forall x \in O)(\exist r > 0) [\,
B(x;r) \subseteq O
\,]
\} </math>

如果取

: <math>a \in \bigcup \mathfrak{A} </math>

換句話說：

: <math>\exists O[\,
(O \in \mathfrak{A})\wedge
(a \in O)
\,] </math>

這樣的話，顯然有

: <math>(\exist r > 0) \left[\,
B(a;r) \subseteq \bigcup \mathfrak{A}
\,\right] </math>

所以 <math>\bigcup \mathfrak{A} </math> 也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託[[度量空间|度量]]情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群'''開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的'''。

== 正式定义 ==
[[File:Topological space examples.svg|frame|right|300px|上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。]]拓扑结构一词涵盖了'''[[开集|开集系]]'''，'''[[闭集|闭集系]]'''，'''[[邻域|邻域系]]'''，'''[[开核]]'''，'''[[閉包 (拓撲學)|閉包]]'''，'''[[导集]]'''，'''[[滤子]]'''等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構，但大部分書籍都以開集系為準。

=== 开集系 ===
根據[[拓扑空间#定义动机|定义动机]]一節可以作如下的定義：

 <math>X</math> 的子集[[集合族|族]] '''<math>\mathfrak{O} \subseteq \mathcal{P}(M) </math>''' 若滿足以下'''开集公理'''
{| class="wikitable"
!正式定義
!直觀解釋
|- 
|<math>X,\,\varnothing \in \mathfrak{O}</math>
| <math>X</math> 本身和空集合也是開的
|- 
|<math>\forall O_1 \forall O_2 [\,
(O_1,\,O_2 \in \mathfrak{O})
\Rightarrow
(O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O})
\,]</math>
|有限個開集的[[交集]]也是開的
|-
|<math>\forall \mathfrak{A} \left[\,
(\mathfrak{A} \subseteq \mathfrak{O})
\Rightarrow
\left(\bigcup \mathfrak{A} \in \mathfrak{O} \right)
\,\right]</math>
|任意個開集的[[并集|併集]]也是開的
|}
則称 '''<math>\mathfrak{O} </math>''' 为 <math>X</math> 的'''开集系'''（其中的元素称为'''开集'''）或'''拓扑'''，'''<math>(X,\,\mathfrak{O}) </math>''' 則被稱為一'''拓扑空間'''，<math>X</math> 內的元素 <math>x \in X</math> 則称为拓扑空间 '''<math>(X,\,\mathfrak{O}) </math>''' 的'''点'''。

开集系的代號 '''<math>\mathfrak{O} </math>''' 是字母「O」的[[德文尖角體]]，取名自[[德语]][[形容词]]「{{Lang|de|offen}}」（開的）。

从开集系出发定义其它概念：（<math>A \subseteq X</math> 為 <math>X</math> 的子集）
* '''闭集'''：若 <math>X - A</math> 是开集，則稱 <math>A</math> 是闭集。
* '''邻域'''：若存在开集 <math>O</math> 使得 <math>x \in O \subseteq A</math> ，則稱 <math>A</math> 是点 <math>x</math> 的邻域。
* '''开核'''：<math>A</math> 的'''開核'''（或'''內部'''）<math>A^{\circ}</math> 定義為<math>A</math> 內所有开集之并，也就是<br /><math>A^{\circ} := \bigcup \left\{
O \in \mathfrak{O}
\,\big|\,
O \subseteq A
\right\}</math>


=== 闭集系 ===

<math>X</math> 的子集[[集合族|族]] <math>\mathfrak{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 若滿足如下'''闭集公理'''：
{| class="wikitable"
!正式定義
!直觀解釋
|-
|<math>X,\,\varnothing\in\mathfrak{F}</math>
|<math>X</math> 本身和空集合也是閉的
|-
|<math>\forall F_1 \forall F_2 [\,
(F_1,\,F_2 \in \mathfrak{F})
\Rightarrow
(F_1 \cup F_2 \in \mathfrak{F})
\,]</math>
|有限個閉集的[[并集|併集]]是閉的
|-
|<math>\forall \mathfrak{B} \left[\,
(\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{F})
\Rightarrow
\left(\bigcap \mathfrak{B} \in \mathfrak{F} \right)
\,\right]</math>
|任意個閉集的[[交集]]是閉的
|}
則称 '''<math>\mathfrak{F}</math>''' 为 '''<math>X</math>''' 的'''闭集系'''（其中的元素称为'''闭集'''）。

开集系的代號 '''<math>\mathfrak{F}</math>''' 是字母「 F」 的[[哥特体|德文尖角體]]，取名自[[法语]][[动词]]「{{Lang|fr|fermer}}」（關閉）的[[过去分词]]「{{Lang|fr|fermé}}」（封閉的）。

根據[[一阶逻辑#德摩根定律|德摩根定理]]和[[一阶逻辑#邏輯符號|量詞符號的意義]]，以下的子集族
: <math>\mathfrak{O}_{\mathfrak{F}} = \left\{
O \in \mathcal{P}(X)
\,\big|\,
X - O \in \mathfrak{F}
\right\} </math>

為开集系，類似地，對於開集系 '''<math>\mathfrak{O} </math>''' ，以下的子集族

: <math>\mathfrak{F}_{\mathfrak{O}} = \left\{
F \in \mathcal{P}(X)
\,\big|\,
X - F \in \mathfrak{O}
\right\} </math>

為閉集系，'''所以閉集系跟拓扑是等價的結構'''。

从闭集系出发定义其它概念：（<math>A \subseteq X</math> 為 <math>X</math> 的子集）
* '''开集'''：<math>X - A</math> 是闭集，則稱 <math>A</math> 是开集。
* '''闭包'''：<math>A</math> 的闭包<math>\overline{A}</math> 定義為包含A的所有闭集之交，也就是<br /><math>\overline{A} := \bigcap \left\{
F \in \mathfrak{F}
\,\big|\,
A \subseteq F
\right\}</math>

=== 邻域系 ===
[[函数]] <math>\mathfrak{U}:X \to \mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]</math>（ <math>\mathcal{P}[\mathcal{P}(X)]</math> 指 <math>X</math> 的[[冪集|幂集]]的幂集，也就是由所有子集[[集合族|族]]所構成的集合）若對任意 <math>x \in X</math> 满足如下'''邻域公理'''：
{| class="wikitable"
!正式定義
!直觀解釋
|-
|<math>\forall U\{\,
[\,U\in\mathfrak{U}(x)\,]
\Rightarrow
(x \in U)
\,\}</math>
|<math>x</math> 屬於 <math>\mathfrak{U}(x)</math> 的任意元素（<math>\mathfrak{U}(x)</math> 裡的元素都是 <math>x</math> 的邻域）
|-
|<math>\forall U\forall V\{\,
[\,U,\,V \in \mathfrak{U}(x)\,]
\Rightarrow
[\,U \cap V \in \mathfrak{U}(x)\,]
\,\}</math>
|<math>x</math> 的任二邻域的交集也是 <math>x</math> 的邻域
|-
|<math>(\forall V \subseteq X)[\,\forall U \in \mathfrak{U}(x)\,]\{\,
(U \subseteq V )
\Rightarrow
[\,V \in \mathfrak{U}(x)\,]
\,\}</math>
|包含任何 <math>x</math> 的邻域的任意子集也是 <math>x</math> 的邻域
|-
|<math>[\,\forall U \in \mathfrak{U}(x)\,]
[\,\exists V \in \mathfrak{U}(x)\,]\{\,
(V \subseteq U) \wedge
(\forall y \in V)[\,
U \in \mathfrak{U}(y)
\,]
\,\}</math>
|<math>x</math> 的每個邻域內有個 <math>x</math> 的邻域，使的大邻域都是小邻域裡面點的領域
|}
这样任意 <math>\mathfrak{U}(x)</math> 被称为 <math>x</math> 的'''邻域系'''， <math>\mathfrak{U}(x)</math> 裡的元素 <math>U \in \mathfrak{U}(x)</math> 則称为 <math>x</math> 的'''邻域'''。

換句話說，函數 <math>\mathfrak{U}</math> 将 <math>X</math> 的每个点 <math>x \in X</math> 映射至 <math>\mathfrak{U}(x)</math> ，而 <math>\mathfrak{U}(x)</math> 則是所有 <math>x</math> 的邻域所構成的集族。

邻域系的代號 '''<math>\mathfrak{U}</math>''' 是字母「 U」 的[[哥特体|德文尖角體]]，取名自[[德语]][[动词]]「 {{Lang|de|umgeben}}」（環繞）的[[名詞化]]「{{Lang|de|Umgebung}}」（周圍、環境）。

若取以下的子集族
: <math>\mathfrak{O}_{\mathfrak{U}} = \left\{
O \in \mathcal{P}(X)
\,\big|\,
(\forall x)\{\,
(x \in O)
\Rightarrow
[\,O \in \mathfrak{U}(x)\,]
\,\}
\right\} </math>

因為 <math>X</math> 包含任意邻域， <math>X</math> 本身顯然為任意 <math>x \in X</math> 的領域，故  <math>X \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}</math> ；另外空集合 <math>\varnothing</math> 沒有任何屬於它的點，所以根據[[一阶逻辑#實質條件|實質條件的意義]]，<math>\varnothing \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}</math>。

若取 <math>O_1,\,O_2 \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}</math> ，根據邻域公理的第二項有 <math>O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}</math> ；若取 <math>\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{O}_\mathfrak{U}</math> ，且 <math>x \in \bigcup \mathfrak{B}</math> ，那換句話說
: <math>\exists O[\,
(O \in \mathfrak{B})
\wedge
(x \in O)
\,]
 </math>

這樣的話有
: <math>\exists O[\,
(O \in \mathfrak{B})
\wedge
(x \in O)
\wedge
(O \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U})
\,]
 </math>

那這樣根據邻域公理第三項，<math>\bigcup \mathfrak{B} \in \mathfrak{O}_\mathfrak{U}</math>，所以 <math>\mathfrak{O}_{\mathfrak{U}} </math> 的確是個開集合系。

類似地對於開集系 '''<math>\mathfrak{O} </math>''' ，若對任意 <math>x \in X</math> 取
: <math>\mathfrak{U}(x) =
\left\{
U \in \mathcal{P}(X)
\,\big|\,
\exists O[\,
(O \in \mathfrak{O})
\wedge
(O \subseteq U)
\wedge
(x \in O)
\,]
\right\}</math>

那 <math>\mathfrak{U}(x)</math> 也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 <math>V = U^{\circ}</math> ），所以'''對所有 <math>x \in X</math> 定義了邻域系等同於定義了一個拓扑'''。

从邻域系出发定义其它概念：（<math>A \subseteq X</math> 為 <math>X</math> 的子集）
* '''开集'''：对任意 <math>x \in A</math> ，有 <math>A \in \mathfrak{U}(x)</math>，則稱 <math>A</math> 是开集。（開集本身是它所有点的邻域）
* '''开核'''：<math>A^{\circ} = \left\{
x \in X
\,\big|\,
\exists U\{\,
[\,U\in \mathfrak{U}(x)\,]\wedge
(U \subseteq A) 
\,\}
\right\}</math>（開核裡的每一點，都有一個包含於 <math>A</math> 的領域。）
* '''闭包'''：<math>\overline{A} = \left\{
x \in X
\,\big|\,
\forall U\{
[\,U\in \mathfrak{U}(x)\,]
\Rightarrow
(U\cap A\ne\varnothing)
\}
\right\}</math>。（閉包裡每一點的領域，都跟 <math>A</math> 有交集。）

===闭包公理===

<math>X</math>的幂集<math>P(X)</math>上的一元运算<math>c : P(X) \to P(X)</math>（即将<math>X</math>的子集A映射为<math>X</math>的子集<math>c(A)</math>）称为'''闭包运算'''（像称为原像的'''闭包'''）。当且仅当运算<math>c</math>满足下述的'''[[库拉托夫斯基闭包公理|闭包公理]]'''：
* '''A<sub>1</sub>'''：<math> A \subseteq c(A) </math>；
* '''A<sub>2</sub>'''：<math> c(c(A)) = c(A) </math>；
* '''A<sub>3</sub>'''：<math> c(A \cup B) = c(A) \cup c(B)</math>；
* '''A<sub>4</sub>'''：<math> c(\varnothing) = \varnothing</math>。

集合<math>A</math>的闭包通常记为<math>\overline{A}</math>。

从闭包出发定义其它概念：
* 从'''闭包'''定义'''闭集'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>是闭集，当且仅当<math>A = \overline{A}</math>。
* 从'''闭包'''定义'''开核'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>的开核<math>A^{\circ} = X - \overline{X-A}</math>。
* 从'''闭包'''定义'''邻域'''：<math>X</math>的子集<math>U</math>是点<math>x</math>的邻域，当且仅当<math>x \notin \overline{X-U}</math>。

===开核公理===

<math>X</math>的幂集<math>P(X)</math>上的一元运算<math>o: P(X) \to P(X)</math>（即将<math>X</math>的子集A映射为<math>X</math>的子集<math>o(A)</math>）称为'''开核运算'''（像称为原像的'''开核'''或'''内部'''）。当且仅当运算<math>o</math>满足如下'''开核公理'''：
* '''I<sub>1</sub>'''：<math> o(A) \subseteq  A </math>；
* '''I<sub>2</sub>'''：<math> o(o(A)) = o(A) </math>；
* '''I<sub>3</sub>'''：<math> o(A \cap B) = o(A) \cap o(B) </math>；
* '''I<sub>4</sub>'''：<math> o(X) = X </math>。

集合<math>A</math>的开核通常记为<math>A^{\circ}</math>。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：
* 从'''开核'''定义'''开集'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>是开集，当且仅当<math>A = A^{\circ}</math>。
* 从'''开核'''定义'''邻域'''：<math>X</math>的子集<math>U</math>是点<math>x</math>的邻域，当且仅当<math>x\in U^{\circ}</math>。
* 从'''开核'''定义'''闭包'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>的闭包<math>\overline{A} = X - (X-A)^{\circ}</math>。

===导集公理===
<math>X</math>的幂集<math>\mathcal{P}(X)</math>上的一元运算<math>d: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math>（即将<math>X</math>的子集<math>A</math>映射为<math>X</math>的子集<math>d(A)</math>）称为'''导集运算'''（像称为原像的'''导集'''），当且仅当<math>d</math>满足以下'''导集公理'''：
* '''D<sub>1</sub>'''：<math>d(\varnothing) = \varnothing</math>；
* '''D<sub>2</sub>'''：<math>d(d(A)) \subseteq d(A) \cup A</math>；
* '''D<sub>3</sub>'''：<math>\forall x \in X,\ d(A) = d(A - \{x\})</math>；
* '''D<sub>4</sub>'''：<math>d(A\cup B) = d(A)\cup d(B)</math>

从导集出发定义其它概念：
* 从'''导集'''定义'''闭集'''：<math>X</math>的子集<math>A</math>是闭集，当且仅当<math>d(A)\subseteq A</math>。


== 拓扑之间的关系 ==
{{Main|拓撲比較}}

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种[[偏序关系]]。当拓扑<math>\mathfrak{T}_1</math>的每一个开集都是拓扑<math>\mathfrak{T}_2</math>的开集时，称拓扑<math>\mathfrak{T}_2</math>比拓扑<math>\mathfrak{T}_1</math>更'''细'''，或称拓扑<math>\mathfrak{T}_1</math>比拓扑<math>\mathfrak{T}_2</math>更'''粗'''。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

== 连续映射与同胚 ==

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>(X,\,\mathfrak{O}_X) </math> 與 <math>(Y,\,\mathfrak{O}_Y)</math> 都是拓扑空间，如果[[函数]] <math>f:X \to Y</math> 滿足：
: <math>(\forall B \in \mathfrak{O}_Y)[f^{-1}(B) \in \mathfrak{O}_X] </math>

称 <math>f</math> 为 <math>\mathfrak{O}_X  </math>-<math>\mathfrak{O}_Y  </math> '''连续'''。

若更進一步，<math>f</math> 為[[双射]]而有[[反函數]] <math>f^{-1}:Y \to X</math> 且 <math>f^{-1}</math> 為 <math>\mathfrak{O}_Y  </math>-<math>\mathfrak{O}_X  </math> '''连续'''，則稱 <math>f</math> 為 <math>\mathfrak{O}_X  </math>-<math>\mathfrak{O}_Y  </math> [[同胚映射]]，且稱<math>X  </math> 與 <math>Y  </math> 是同胚的。
}}

=== 性質 ===
* <math>f</math>对任何闭集的原像是闭集。
* 对点<math>f(x)</math>的任一邻域<math>V</math>，都存在点<math>x</math>的一个邻域<math>U</math>，使得<math>f(U) \subset V</math>，则称<math>f(x)</math>在点<math>x</math>连续，而连续映射即点点连续的映射。
* 对任一集合<math>A</math>，<math>f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}</math>成立。
* 对任一集合<math>A</math>，<math>f^{-1}(A^{\circ}) \subseteq (f^{-1}(A))^{\circ}</math>成立。

== 拓扑空间范畴 ==

拓扑空间作为[[对象 (范畴论)|对象]]，连续映射作为[[态射]]，构成了'''[[拓扑空间范畴]]'''，它是数学中的一个基础性的[[範疇 (數學)|範疇]]。试图通过[[不变量]]来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括[[同伦论]]、[[同调论]]和[[K-理论]]。

== 相关概念 ==
===基本概念===
给定拓扑空间<math>(X,\tau)</math>，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：
;内部，内点
:A的开核o(A)又称为A的'''内部'''，其元素称为A的'''内点'''。
;外部，外点
:X - c(A)称为A的'''外部'''，其元素称为A的'''外点'''。
;边界，边界点
:c(A)∩c(X-A)称为A的'''边界'''，其元素称为A的'''边界点'''。
;触点
:A的闭包c(A)中的点称为A的'''触点'''。
;稠密性，稠密集
:称A在X中是'''稠密的'''（或称'''稠密集'''），当且仅当c(A) = X。
;边缘集
:称A是X的'''边缘集'''，当且仅当X-A在X中是稠密的。
;疏性，疏集
:称A在X中是'''疏的'''（或称'''疏集'''），当且仅当c(A)是X中的边缘集。
;第一范畴集，第二范畴集
:称A是X中的'''第一范畴集'''，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的'''第二范畴集'''，当且仅当A不是X中的第一范畴集。
;聚点，导集
:X中的点x称为A的'''聚点'''，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的'''导集'''。
;孤立点
:A中的点x称为A的'''孤立点'''，当且仅当它不是A的聚点。
;孤点集，离散集
:称A为'''孤点集'''或'''离散集'''，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
;自密集
:称A为'''自密集'''，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。
;完备集
:称A为'''完备集'''，当且仅当A等于其导集。
;自密核
:A的最大自密子集称为A的'''自密核'''。
;无核集
:称A是'''无核集'''，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。

===网===
'''网'''的目的在推广序列及极限，网的收性称作'''Moore-Smith收敛'''。其关键在於以[[有向集合]]代替自然数集<math>\mathbb{N}</math>。

空间<math>X</math>上的一个网<math>(x_\alpha)_{\alpha \in A}</math>是从有向集合<math>A</math>映至<math>X</math>的映射。

若存在<math>x \in X</math>，使得对每个<math>x</math>的邻域<math>U</math>都存在<math>\beta \in A</math>，使得<math>\alpha \geq \beta \Rightarrow x_\alpha \in U</math>，则称网<math>(x_\alpha)_{\alpha \in A}</math>收敛至<math>x</math>。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目[[网 (数学)|网]]

== 拓扑空间的例子 ==

* [[实数]]集'''R'''构成一个拓扑空间：全体开[[区间]]构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集'''R'''上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
*更一般的，n维[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。
*任何[[度量空间]]都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如[[泛函分析]]领域中的[[Banach空间]]和[[希尔伯特空间]]。
*任何[[局部域]]都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的[[向量空间]]。
*除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—[[下限拓扑]]（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间<nowiki>[</nowiki>''a'', ''b'')生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
* [[流形]]都是一个拓扑空间。
*每一个[[单形]]都是一个拓扑空间。单形是一种在[[计算几何学]]中非常有用的[[凸集]]。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是[[点]]、[[线段]]、[[三角形]]和[[四面体]]。
*每一个[[单纯复形]]都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见[[多胞形]]（Polytope）。
* [[扎里斯基拓扑]]是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的[[交換环谱]]之上或者某个[[代数簇]]之上。对'''R'''<sup>''n''</sup>或者'''C'''<sup>''n''</sup>来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体[[多项式]]方程的解集合构成。
* [[线性图]]是一种能推广[[图 (数学)|图]]的许多几何性质的拓扑空间。
* [[泛函分析]]中的许多[[算子]]集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
*任何集合都可以赋予[[离散拓扑]]。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。
*任何集合都可以赋予[[平庸拓扑]]。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
* '''有限补拓扑'''。设X是一个[[集合 (数学)|集合]]。X的所有有限[[子集]]的[[补集]]加上[[空集]]，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为'''有限补空间'''。有限补空间是这个集合上最小的[[T1空间|T<sub>1</sub>]]拓扑。
* '''可数补拓扑'''。设X是一个[[集合 (数学)|集合]]。X的所有[[可数子集]]的[[补集]]加上[[空集]]，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为'''可数补空间'''。
*如果Γ是一个[[序数]]，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(''a'', ''b''<nowiki>]</nowiki>生成，此处''a''和''b''是Γ的元素。
=== 例子 ===
# {{VarSerif|X}} = {1,2,3,4} 和 {{VarSerif|X}} 內兩個子集組成的集族 {{Serif|''τ'' {{=}} {{(}}{{Unicode|∅}}, ''X''{{)}}}} 會形成一個-{zh-hans:平庸拓扑;zh-hant:密著拓撲}-。
# {{VarSerif|X}} = {1,2,3,4} 和 {{VarSerif|X}} 內六個子集組成的集族 {{VarSerif|τ}} = {{{UnicodeMath|∅}},{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
# {{VarSerif|X}} = {{UnicodeMath|ℤ}}（整數集合）及集族 {{VarSerif|τ}} 等於所有的有限整數子集加上 {{UnicodeMath|ℤ}} 自身''不是''一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 {{UnicodeMath|ℤ}} 的全部，因此不在 {{VarSerif|τ}} 內。
# 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
# 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
# 3个元素的集上总拓扑数-{只有}-29个。
# 4个元素的集上总拓扑数-{只有}-355个。
# n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见[[OEIS]]-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

#{∅, X}
#{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
#{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
#{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
#{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
#{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
#{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
#{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
#{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

== 拓扑空间的构造 ==

*拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个[[子空间拓扑]]，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
*对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为[[积拓扑]]。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
*[[商拓扑]]可以被如下地定义出来：若''X''是一个拓扑空间，''Y''是一个集合，如果''f'' : ''X''  →  ''Y''是一个[[满射]]，那么''Y''获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的[[逆像]]也是开的。可以利用''f''自然投影确定下''X''上的[[等价类]]，从而给出拓扑空间''X''上的一个[[等价关系]]。
* [[Vietoris拓扑]]<!--The [[Vietoris]] topology on the set of all non-empty subsets of a topological space ''X'' is generated by the following basis: for every ''n''-tuple ''U''<sub>1</sub>, ..., ''U''<sub>''n''</sub> of open sets in ''X'', we construct a basis set consisting of all subsets of the union of the ''U''<sub>''i''</sub> which have non-empty intersection with each ''U''<sub>''i''</sub>.-->

== 拓扑空间的分类 ==

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

=== 分离公理 ===

详细资料请参照'''[[分离公理]]'''以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照[[分离公理的历史]]。
;[[拓扑不可区分性]]
:X中两个点x，y称为'''拓扑不可区分的'''，当且仅当如下结论之一成立：
:*对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。
:*x的邻域系和y的邻域系相同。
:*<math>x\in\overline{\{y\}}</math>，且<math>y\in\overline{\{x\}}</math>。

=== 可数公理 ===
;可分的
:X称为'''[[可分 (拓扑学)|可分]]的'''，当且仅当它拥有一个[[可数]]的[[稠密]]子集。
;第一可数
:X称为'''[[第一可数空间|第一可数]]的'''，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
;第二可数
:X称为'''[[第二可数空间|第二可数]]的'''，当且仅当其拥有一个可数的基。

=== 连通性 ===
;连通
:X称为'''[[连通空间|连通]]的'''，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的[[闭开集]]（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。
;局部连通
:X称为'''[[局部连通]]的'''，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
;完全不连通
:X称为'''[[完全不连通]]的'''，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
;道路连通
:X称为'''[[道路连通]]的'''，当且仅当其任意两点''x''和''y''，存在从''x''到''y''的道路''p''，也即，存在一个连续映射''p'': [0,1] → ''X''，满足''p''（0）= ''x''  且''p''（1）= ''y''。道路连通的空间总是连通的。
;局部道路连通
:X称为'''[[局部道路连通]]的'''，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
;单连通
:X称为'''[[单连通]]的'''，当且仅当它是道路连通且每个连续映射<math>f: \mathbb{S}^1 \rightarrow X</math>都与常数映射[[同伦]]。
;可缩
:X称为'''[[可缩]]的'''，当且仅当它[[同伦|同伦等价]]到一点。
;超连通
:X称为'''超连通的'''，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
;极连通
:X称为'''极连通的'''，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
;平庸的
:X称为'''平庸的'''，当且仅当其开集只有本身与空集。

=== 紧性 ===
（详细资料请参照[[紧集]]）
;紧性
:X称为'''紧的'''，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
;林德洛夫性质
:X称为拥有'''林德洛夫性质'''，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
;仿紧
:X称为'''仿紧的'''，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
;可数紧
:X称为'''可数紧的'''，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
;列紧
:X称为'''可数紧的'''，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
;伪紧
:X称为'''伪紧的'''，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

=== 可度量化 ===
可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是'''Urysohn度量化定理'''：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的[[流形]]皆可度量化。

== 拥有代数结构的拓扑空间 ==

对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个[[拓扑群]]<math>G</math>乃是一个拓扑空间配上连续映射<math>m: G \times G \rightarrow G</math>（群乘法）及<math>i: G \rightarrow G</math>（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义[[拓扑向量空间]]为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是[[泛函分析]]的主题；我们可以类似地定义[[拓扑环]]、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的[[主齐性空间]]。在[[代数数论]]及[[代数几何]]中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的[[局部域]]（一种拓扑域），[[伽罗瓦理论]]中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义[[形式概形]]所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

== 拥有序结构的拓扑空间 ==

拓扑空间也可能拥有自然的[[序理论|序结构]]，例子包括：
*谱空间（spectral space）上的序结构。
* [[特殊化预序]]：定义<math>x \leq y \Leftrightarrow \mathrm{cl}(x) \sub \mathrm{cl}(y)</math>。常见於[[计算机科学]]。



== 外部链接 ==
n个元素的集上总拓扑数规律
*[[整數數列線上大全]]:[[OEIS]]-A000798.

== 参考书目 ==
* John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
* James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

*点集拓扑学初步 / [[江泽涵]]-{著}-. - [[上海]]: [[上海科学技术出版社]], 1979年1月。
*点集拓扑学基础 / 吴东兴-{著}-. - [[北京]]: [[科学出版社]], 1981年3月。
*点集拓扑学原理 / 鲍姆-{著}-;蒲思立译. - [[北京]]: [[人民教育出版社]], 1981年6月。
*一般拓扑学 / 李普舒茨-{著}-;陈昌平等译. - [[上海]]: [[华东师大出版社]], 1982年1月。
*一般拓扑学 / 凯莱-{著}-;吴丛，吴让泉译. - [[北京]]: [[科学出版社]], 1982年5月。
*拓扑学引论 / 本特·门德尔森-{著}-;陈明蔚译. - [[南宁]]: [[广西人民出版社]], 1983年1月。
*基础拓扑学 / 阿姆斯特朗-{著}-;孙以丰译. - [[北京]]: [[北京大学出版社]], 1983年1月。
*点集拓扑学 / 方嘉琳编-{著}-. - [[沈阳]]: [[辽宁人民出版社]], 1983年4月。
*拓扑学的基础和方法 / 野口宏-{著}-;郭卫中，王家彦译. - [[北京]]: [[科学出版社]], 1986年3月。
*拓扑学初步 / [[苏步青]]-{著}-. - [[上海]]: [[复旦大学出版社]], 1986年4月。
*拓扑学基础教程 / 曼克勒斯-{著}-;罗嵩龄等译. - [[北京]]: [[科学出版社]], 1987年8月。
*基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫-{著}-. - [[北京]]: [[高等教育出版社]], 1991年1月。
*一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光-{著}-. - [[成都]]: [[四川教育出版社]], 1991年3月。
*拓扑学导论 / 鲍里索维奇等-{著}-;盛立人等译. - [[北京]]: [[高等教育出版社]], 1992年9月。
*基础拓扑学讲义 / 尤承业编-{著}-. - [[北京]]: [[北京大学出版社]], 1997年. ISBN 7-301-03103-3.

{{点集拓扑}}
{{Authority control}}
[[Category:拓扑空间|*]]