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在[[數學]]中，'''拓撲流形'''（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 <math>\R^n</math> 」的[[拓樸空間]]，是[[微分幾何]]的主要研究對象。所有其他類型的''流形''（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。

== 形式定義 ==

一個 <math>n</math> 維'''拓撲流形'''（或簡稱'''流形'''）是一個拓撲空間 <math>M</math> ，滿足以下性質<ref>{{en}}{{cite book
| author      = Lee, John M.
| year        = 2012
| title       = Introduction to Smooth Manifolds
| publisher   = Springer New York
| url         = https://doi.org/10.1007/978-1-4419-9982-5_1
}}第2-3頁</ref>：
# <math>M</math> 是[[豪斯多夫空间]]。
# <math>M</math> 是[[第二可數空間]]。
# 對於每個 <math>M</math> 中的點，找的到一個該點的[[鄰域]] <math>U</math> ，使得 <math>U</math> 和 <math>\R^n</math> [[同胚]]。

== 範例 ==
* 連續函數的圖形。
* <math>n</math> 維的球體。
* <math>n</math> 維[[射影空間]]。
* [[環面]]

== 範例 ==

===<math>n</math> 維流形===

* <math>n</math> 維[[歐幾里得空間]] <math>\R^n</math> 是一個 <math>n</math> 維拓撲流形。
* [[離散空間]]是一個 <math>0</math> 維拓撲流形。
* [[圓|圓形]]是一個[[緊空間|緊緻的]] <math>1</math> 維拓撲流形。
* [[環面]]和[[克萊因瓶]]是[[緊空間|緊緻的]] <math>2</math> 維拓撲流形。
* <math>n</math> 維的[[球面]]是一個[[緊空間|緊緻的]] <math>n</math> 維流形。
* <math>n</math> 維的[[環面]]是一個[[緊空間|緊緻的]] <math>n</math> 維流形。

===Projective manifolds===

* [[Projective space]]s over the [[real number|reals]], [[complex number|complexes]], or [[quaternion]]s are compact manifolds.
** [[Real projective space]] '''RP'''<sup>''n''</sup> is a ''n''-dimensional manifold.
** [[Complex projective space]] '''CP'''<sup>''n''</sup> is a 2''n''-dimensional manifold.
** [[Quaternionic projective space]] '''HP'''<sup>''n''</sup> is a 4''n''-dimensional manifold.
* Manifolds related to projective space include [[Grassmannian]]s, [[flag manifold]]s, and [[Stiefel manifold]]s.

===Other manifolds===

* [[Differentiable manifold]]s are a class of topological manifolds equipped with a [[differential structure]].
* [[Lens space]]s are a class of differentiable manifolds that are [[Quotient space (topology)|quotient]]s of odd-dimensional spheres.
* [[Lie group]]s are a class of differentiable manifolds equipped with a compatible [[Group (mathematics)|group]] structure.
* The [[E8 manifold]] is a topological manifold which cannot be given a differentiable structure.

== 參考文獻 ==
'''引用'''
{{Reflist|2}}


'''書籍'''
* {{en}}{{cite book
| author      = Lee, John M.
| year        = 2012
| title       = Introduction to Smooth Manifolds
| publisher   = Springer New York
| url         = https://doi.org/10.1007/978-1-4419-9982-5_1
}}

{{topology-stub}}
{{geometry-stub}}

[[Category:流形]]
[[Category:拓扑空间性质]]