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[[Image:Topologist's sine curve.svg|420px|thumb|随着''x''从右边接近0，1/''x''的变化率就增大。这就是正弦波的频率随着图形向左移动而增加的原因。]]

[[拓扑学]]中，'''拓扑学家正弦曲线'''或'''华沙正弦曲线'''是一个[[拓扑空间]]，具有一些有趣的特性，使其成为教科书中的一个重要例子。

它可以定义为函数sin(1/''x'')在[[區間|半开区间]](0,&nbsp;1]上连通原点在欧氏平面[[子空间拓扑|拓扑下的]][[函数图形]]：

:<math> T = \left\{  \left( x, \sin \tfrac{1}{x}  \right ) :  x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\}. </math>

==性质==
拓扑学家正弦曲线''T''是[[连通空间|连通]]的，但不是[[局部连通空间|局部连通]]也不是[[连通空间#道路连通，弧连通|路径连通]]。这是因为它包含原点，但却无法将函数与原点连接为[[路径 (拓扑学)|路径]]。

空间''T''是[[局部紧]]空间的连续像（即设''V''为空间{&minus;1} &cup; (0,&nbsp;1<nowiki>]</nowiki>，并使用由<span style="white-space: nowrap">''f''(&minus;1)</span> = (0,0)、<span style="white-space: nowrap">''f''(''x'')</span> = <span style="white-space: nowrap">(''x'',&nbsp;sin(1/''x''))</span>（''x'' > 0）定义的映射<math>f:\ V\to T</math>），而''T''本身不是局部紧的。

''T''的[[拓扑维数]]为1。

==变体==
拓扑学家正弦曲线有2种有趣的变体，具有其它有趣的性质。

'''闭拓扑学家正弦曲线'''可通过拓扑学家正弦曲线添加[[极限点]]集<math>\{(0,y)\mid y\in[-1,1]\}</math>得到。有文献将拓扑学家正弦曲线本身定义为这个版本，因为他们更喜欢用“闭拓扑学家正弦曲线”指另一条曲线。<ref>{{cite book |last=Munkres |first=James R |date=1979 |title=Topology; a First Course |publisher=Englewood Cliffs |page=158 |isbn=9780139254956}}</ref>据[[海涅-博雷尔定理]]，这是闭有界[[紧空间]]，但与拓扑学家正弦曲线有相似的性质：它也是连通的，但既不是局部连通，也不是路径连通。

'''推广拓扑学家正弦曲线'''的定义是：将闭拓扑学家正弦曲线加入集合<math>\{(x,1) \mid x\in[0,1]\}</math>。它是[[连通空间#道路连通，弧连通|弧连通]]的，但不是[[局部连通空间|局部连通的]]。

== 另见 ==
* [[形状理论#华沙圈]]

==参考文献==
{{reflist}}
*{{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=Dover Publications, Inc. | location=Mineola, NY | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 |mr=1382863 | year=1995 | pages=137–138}}
*{{mathworld|urlname=TopologistsSineCurve|title=Topologist's Sine Curve}}

[[Category:拓扑空间]]