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在[[拓扑学]]中，[[拓扑空间]]''X''內的两点若有完全相同的[[鄰域]]，便稱這兩個點為「'''拓扑不可区分的'''」。亦即，設''x''及''y''為''X''內的兩點，''A''為由所有包含''x''的鄰域所組成的集合，且''B''為由所有包含''y''的鄰域所組成的集合，則''x''及''y''為「拓撲不可區分的」若且唯若''A'' = ''B''。

直觀上來說，若''X''的拓撲無法分辨之中的兩點，即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

若''X''內的兩點不是拓撲不可區分的，則稱這兩點為「'''拓撲可區分的'''」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的[[开集]]（或等价地说，存在只包含两点之中的其中一點的[[闭集]]），而这个开集則可以用来使两个点可以區分。[[T0空间|T<sub>0</sub>空间]]是一個拓撲空間，其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的。这是[[分离公理]]中最弱的一個限制條件。

拓扑不可区分性會在拓扑空间''X''上定义出一個[[等价关系]]。設''x''和''y''為''X''內的兩個点，若''x''和''y''為拓撲不可區分的，便標記成''x'' ≡ ''y''；''x''的[[等價類]]則標記為[''x'']。

==例子==

对[[T0空间|T<sub>0</sub>空间]]（特别是[[豪斯多夫空间]]）而言，拓扑不可区分的概念是沒有意義的，因此若要尋找有趣的例子，必须要在非T<sub>0</sub>空间中才行。另一方面，由於[[正则空间|正则性]]和[[正规空间|正规性]]並不蕴涵T<sub>0</sub>，所以可以找到一些有這些性质的例子。事实上，下面给出的例子就几乎都是[[完全正则空间|完全正则]]的。

*在[[密着拓扑|不可分空間]]中，任意两个点都是拓扑不可区分的。
*在[[偽度量|伪度量空间]]中，两点是拓扑不可区分的，当且仅当在兩點之间的距离為零。
*在[[賦範向量空間|半赋範向量空间]]中，''x'' &equiv; ''y''当且仅当‖''x'' &minus; ''y''‖ = 0。
**舉例來說，设''L''<sup>2</sup>（R）是一個拓撲空間，由所有从R映射至R的[[可积函数|平方可积]]的[[可測函數]]所組成（詳见[[Lp空间|''L''<sup>''p''</sup>空间]]）。则在''L''<sup>2</sup>（R）內，函数''f''及''g''為拓扑不可区分的，当且仅当兩個函數[[几乎处处]]相等。
*在[[拓扑群]]中，''x'' &equiv; ''y''，当且仅当''x''<sup>&minus;1</sup>''y'' &isin; cl{''e''}，这里的cl{''e''}為[[当然群|当然子群]]的[[闭包]]；而其等价类則為cl{''e''}的[[陪集]]（cl{''e''}总會是個[[正规子群]]）。
*[[一致空间]]推广了伪度量空间和拓扑群。在一致空间中，''x'' &equiv; ''y''当且仅当有序对 (''x'', ''y'')属于所有[[周围 (拓扑学)|周围]]（{{lang|en|entourage}}）。所有周围的交集正是用''X''上拓扑不可区分性來定義的等价关系。
*设''X''有关于函数族<math>\{f_\alpha : X \to Y_\alpha\}</math>的[[初拓撲]]。''X''中两个点''x''和''y''是拓扑不可区分的，如果<math>f_\alpha</math>族不区分它们（就是说对所有<math>\alpha</math>，<math>f_\alpha(x) = f_\alpha(y)</math>）。
*给定集合''X''上的任何等价关系，存在''X''上的拓扑，它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系。你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的[[基 (拓扑学)|基]]。这叫做''X''上的[[划分拓扑]]。

==特殊化预序==

在空间''X''上的拓扑不可区分性可以从在''X''上的叫做[[特殊化预序]]的自然[[预序]]来复原。对于''X''中的点''x''和''y''这个预序定义为
:''x'' &le; ''y'' [[当且仅当]]''x'' &isin; cl{''y''}
这里的cl{''y''}指示{''y''}的[[闭包]]。等价的说，''x'' &le; ''y''如果''x''的[[邻域系统]]，指示为''N''<sub>''x''</sub>，被包含在''y''的邻域系统内：
:''x'' &le; ''y''当且仅当''N''<sub>''x''</sub> &sub; ''N''<sub>''y''</sub>。容易看出在''X''上的这个关系是[[自反关系|自反]]的和[[传递关系|传递]]的，所以定义了预序。但是一般的说，这个预序不是[[反对称关系|反对称]]的。实际上，确定自&le;的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系：
:''x'' &equiv; ''y''当且仅当''x'' &le; ''y''并且''y'' &le; ''x''。

拓扑空间被称为[[R0空间|对称（或R<sub>0</sub>）]]的，如果特殊化预序是[[对称关系|对称]]的（就是说''x'' &le; ''y''蕴涵''y'' &le; ''x''）。在这种情况下，关系&le;和&equiv;是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有[[正则空间]]和[[完全正则空间]]。

==性质==

===等价条件===
有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设''X''是拓扑空间并设''x''和''y''是''X''的点。把''x''和''y''的闭包分别指示为cl{''x''}和cl{''y''}，并把它们的[[邻域系统]]分别指示为''N''<sub>''x''</sub>和''N''<sub>''y''</sub>。则下列陈述是等价的：

* ''x'' &equiv; ''y''
* 对于每个''X''中的开集''U''，要么''U''包含''x''和''y''二者要么都不包含
* ''N''<sub>''x''</sub> = ''N''<sub>''y''</sub>
* ''x'' &isin; cl{''y''}并且''y'' &isin; cl{''x''}
* cl{''x''} = cl{''y''}
* ''x'' &isin; <big>&cap;</big>''N''<sub>''y''</sub>并且''y'' &isin; <big>&cap;</big>''N''<sub>''x''</sub>
* <big>&cap;</big>''N''<sub>''x''</sub> = <big>&cap;</big>''N''<sub>''y''</sub>
* ''x'' &isin; cl{''y''}并且''x'' &isin; <big>&cap;</big>''N''<sub>''y''</sub>
* ''x''属于包含''y''的所有开集和所有闭集
* [[网 (数学)|网]]或[[滤子 (数学)|滤子]]会聚于''x''当且仅当它会聚于''y''

这些条件可以在''X''是[[R0空间|对称空间]]的情况下简化。对于这些空间(特别是[[正则空间]])，下列陈述是等价的：

* ''x'' &equiv; ''y''
* 对于每个开集''U''，如果''x'' &isin; ''U''则''y'' &isin; ''U''
* ''N''<sub>''x''</sub> &sub; ''N''<sub>''y''</sub>
* ''x'' &isin; cl{''y''}
* ''x'' &isin; <big>&cap;</big>''N''<sub>''y''</sub>
* ''x''属于包含''y''的所有闭集
* ''x''属于包含''y''的所有开集
* 所有会聚于''x''的网或滤子会聚于''y''

===等价类===

要讨论''x''的[[等价类]]，為了方便，首先定义''x''的[[上闭集合]]和下闭集合。它们都是关于上述[[特殊化预序]]而定义的。

''x''的下部集合就是{''x''}的闭包：
:<math>\mathop{\darr}x = \{y\in X : y\leq x\} = \textrm{cl}\{x\}</math>，而''x''上部集合是在''x''的[[邻域系统]]的[[交集]]：
:<math>\mathop{\uarr}x = \{y\in X : x\leq y\} = \bigcap \mathcal{N}_x</math>。

''x''的等价类接着给出为交集
:<math>[x] = {\mathop{\darr}x} \cap {\mathop{\uarr}x}</math>。

因为&darr;''x''是包含''x''的所有闭集的交集而&uarr;''x''是包含''x''的所有开集的交集，等价类[''x'']是包含''x''的所有开集和闭集的交集。

cl{''x''}和<big>&cap;</big>''N''<sub>''x''</sub>二者都包含等价类[''x'']。一般的说，两个集合都会包含额外的点。但是在[[R0空间|对称空间]]中(特别是在[[正则空间]]中)，这三个集合是一致的：
:<math>[x] = \textrm{cl}\{x\} = \bigcap\mathcal{N}_x</math>。一般的说，等价类[''x'']会是闭集，当且仅当这个空间是对称的。

===连续函数===

设''f'' : ''X'' &rarr; ''Y''是[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]。则对于任何''X''中的''x''和''y''有
:''x'' &equiv; ''y''蕴涵''f''(''x'') &equiv; ''f''(''y'')。逆命题一般为假(T<sub>0</sub>空间有是[[平凡拓扑|平凡]]的[[商空间|商]])。逆命题在''X''有引发自''f''的[[初拓扑]]的条件下为真。更一般的说，如果''X''有引发自映射族<math>f_\alpha : X \to Y_\alpha</math>的初拓扑则
:''x'' &equiv; ''y''当且仅当''f''<sub>α</sub>(''x'') &equiv; ''f''<sub>α</sub>(''y'')对于所有α。可得出在[[乘积空间]]中两个元素是拓扑不可区分的，当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的。

==柯尔莫果洛夫商空间==

因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间''X''上的等价关系，我们可以形成[[商空间]]''KX'' = ''X''/&equiv;。空间''KX''被叫做[[柯爾莫果洛夫空間#柯爾莫哥洛夫商空间|柯爾莫哥洛夫商空間]]或''X''的T<sub>0</sub>同一。事实上，空间''KX''是T<sub>0</sub>（就是说所有点都是拓扑可区分的）。此外，通过商映射的特征性质，任何从''X''到T<sub>0</sub>空间的连续映射''f'' : ''X'' &rarr; ''Y''通过商映射''q'' : ''X'' &rarr; ''KX''而因子化。

尽管商映射''q''一般不是[[同胚]]（因为它一般不是[[单射]]），它确实引发在''X''的拓扑和''KX''的拓扑之间的[[双射]]。直觉上说，柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只將点集精簡化，直到点都成为拓扑可区分的。

==参见==
{{portal box|數學}}
*[[T0空间|T<sub>0</sub>空间]]
*[[特殊化预序]]
*[[不可区分者的同一性]]

[[Category:点集拓扑学|T]]
[[Category:分离公理]]