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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{not|驻点|滞点|临界点}}
[[File:X cubed (narrow).svg|thumb|y=x<sup>3</sup>的函數圖形，原點是其拐點]]
[[File:Point inflexion arctan.png|thumb|[[反正切]]函數的拐點]]
'''拐點'''（{{lang-en|Inflection point}}）或稱'''-{zh-cn:反曲点; zh-tw:拐點;}-'''，是一條连续[[曲線]]由[[凸函數|凸]]轉[[凹函數|凹]]，或由[[凹函數|凹]]轉[[凸函數|凸]]的點，或者等價地說，是使[[切線]]穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

== 定義 ==
{{微积分学}}
若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為'''拐點'''。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶'''導數'''為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

==拐点的必要条件 ==
'''拐点的必要条件'''：设<math>f(x)</math>在<math>(a,b)</math>内二阶可导，<math>x_0\in (a,b)</math>，若<math>(x_0 ,f(x_0 ))</math>是曲线<math>y=f(x)</math>的一个拐点，则<math>f''(x_0 )=0</math>。
比如，<math>f(x)=x^4</math>，有<math>f''(0)=0</math>，但是0两侧全是凸，所以0不是函数<math>f(x)=x^4</math>的拐点。

'''拐点的充分条件'''：设<math>f(x)</math>在<math>(a,b)</math>内二阶可导，<math>f''(x_0)=0</math>，若在<math>x_0</math>两侧附近<math>f''(x)</math>异号，则点<math>(x_0,f(x_0))</math>为曲线的拐点。否则（即<math>f''(x_0)</math>保持同号），<math>(x_0,f(x_0))</math>不是拐点。

== 分類 ==
拐點可以根據<math>f'(x)</math>為零或不為零，進行分類：
* 如果<math>f'(x)</math>為零，此點為'''拐點的[[驻点]]'''，簡稱為'''[[鞍點]]'''。
* 如果<math>f'(x)</math>不為零，此點為'''拐點的非[[驻点]]'''。

例如：<math>y = x^3</math>的點<math>(0, 0)</math>是一個鞍點，切線為<math>x</math>軸，切線正好將圖像分為兩半。

== 參數曲線的拐點 ==
平面參數曲線的拐點是使其[[曲率]]變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

== 雙正則點與拐點 ==
'''雙正則點'''是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）[[線性獨立]]的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

'''註'''：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

== 代數曲線的拐點 ==
設<math>C</math>為[[域 (數學)|域]]<math>F</math>上的平面[[代數曲線]]，其拐點定義為一平滑點<math>P \in C(F)</math>，使得該點切線<math>L_P</math>與<math>C</math>在<math>P</math>點的[[相交重數]]<math>\geq 3</math>。

注意到一條曲線與<math>C</math>在<math>P</math>點相切的充要條件是相交重數<math>\geq 2</math>。當<math>F = \mathbb{R}</math>時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

== 参见 ==
* [[驻点]]
* [[鞍点]]
* [[极值]]

== 文獻 ==
* Robin Hartshorne (1997). ''Algebraic Geometry''. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.

[[Category:幾何術語]]
[[Category:微分学]]